Szereg Harmoniczny Patrycja: Bardzo proszę o napisanie czy dobrze rozumiem szereg harmoniczny i o pokazanie mi gdzie robie ewentualne błędy: ∑(k=1 do n)H_k

	1
Hn=∑(k=1 do n)
	k

∑(k=1 do n)k*H_k+(n+1)H_n+1=1+∑(k=1 do n)(k+1) H_k+1=

	1		k		1
=1+∑(k=1 do n) (k+1)(Hk+		)=1+∑ (k=1 do n) (k*Hk+		+Hk+		)=
	k+1		k+1		k+1

=1+∑(k=1 do n) (k*H_k+H_n+1) = 1+∑(k=1 do n) 4*H_k + ∑(k=1 do n) H_k +∑(k=1 do n) 1 = = ∑(k=1 do n)k * H_k + ∑(k=1 do n)H_k + n+ 2 ∑ (k=1 do n) k*H_k+(n+1) H_n+1 = ∑ (k=1 do n) k*H_k + ∑ (k=1 do n) H_k + n+ 2 k*Sn + (n+1) H_n+1 = k*Sn + Sn+n+2 Sn= (n+1) H_n+1 − (n+2)

powrócony z otchłani: A co wlasciwie chcesz wyliczyc?

Patrycja: Mam do zrobienia takie zadanie: T₀=5 T_n = T_n−1 + H_k S_n = S₁

	1
Tn =		(5*S1 + ∑(k=1 do n) Hk *S1)
	S1

kochanus_niepospolitus: T_n = T_n−1 + H_k hmmm

	1		1
Tn =		(5*S1 + ∑1n Hk*S1) = 5 + ∑1n Hk = 5 + ∑1n∑1k		=
	S1		m

	n+1−k
= 5 + ∑1n		= 5 + (n+1)*Hn − n
	k

T_n−1 = 5 + nH_n−1 − (n−1)

	1
Tn = Tn−1 + Hn = 5 + nHn−1 − (n−1) + Hn−1 +		=
	n

	1		n+1
= 5 + (n+1)Hn−1 − n + 1 +		=5 + (n+1)Hn−1 − n +		=5 + (n+1)Hn − n
	n		n

Patrycja: W zadaniu jest H_k czyli wynikiem prawidłowym jest 5 + (n+1)*Hn − n? po 5+∑ (k=1 do n) Hk już nic nie rozumiem. Zadanie spróbowałam zrobić na podstawie notatek w zeszycie gdzie miałam dla ∑ (k=0 do n) H_k i poprzekształcałam to jakoś. Proszę o pomoc to jest dla mnie bardzo ciężkie zadanie, do tej pory nigdzie nie spotkałam się z H_k ale z prostymi zadaniami z metodą zaburzania lub metodą teleskopową, a to jest jedno z zadań które będę miala na kolokwium.

kochanus_niepospolitus:

	1		1
∑1n Hk = ∑1n (∑1k		) <−−− bo przecież Hk = ∑1k		prawda
	m		m

	1		1		1		1
∑1n (∑1k		) = 1 + (1 +		) + (1 +		+		) + itd.
	m		2		2		3

zauważam, że 1 występuje w tej podwójnej sumie dokładnie 'n' razy (czyli przemnożone przez 'n')

1
	wystąpi n−1 razy
2

1
	wystąpi n−2 razy
3

1
	wystąpi 1 raz
n

stąd piszę, że ta podwójna suma to nic innego jak

	1		1
∑1n (∑1k		) = ∑1n		*(n+1−k)
	m		k

i zauważ, że dokładnie tak będzie: 1 mnożymy przez n

1
	przez n−1
2

itd.

1
	mnożymy przez 1
n

	1		n+1		k
∑1n		*(n+1−k) = ∑1n		− ∑1n
	k		k		k

oczywiście (n+1) jest stałą w pierwszej sumie, więc wywalamy przed sumę

	k
w drugiej sumie skracamy:		= 1
	k

	n+1		k		1
∑1n		− ∑1n		= (n+1)∑1n		− ∑1n 1
	k		k		k

pierwsza suma to nic innego jak H_n ... a druga suma to nic innego jak suma 'n' jedynek

	1
(n+1)∑1n		− ∑1n 1 = (n+1)Hn − n
	k

rozumiemy jak to zrobiłem

Patrycja: Wszystko rozumiem oprócz tego:

	1		1
∑(od k=1 do n ) (∑ (od m=1 do k)		) = ∑ (od k=1 do n )		* (n+1−k)
	m		k

kochanus_niepospolitus: niech n = 3

	1
∑13 ∑1k		= (*)
	m

k = 1

1
1

k=2

1		1
	+
1		2

k = 3

1		1		1
	+		+
1		2		3

	1		1		1		1		1		1
(*) =		+ (		+		) + (		+		+		)
	1		1		2		1		2		3

i musisz zobaczyć, że:

	1
		występuje 'n' razy
	1

	1
		występuje 'n−1' razy
	2

	1
		występuje 'n−2' razy
	3

dla większych 'n' będzie analogicznie

	1		1		1		1
(dla n=4) dorzucasz jeszcze		+		+		+
	1		2		3		4

	1
a wyrażenie		występuje dokładnie 'n−3' razy
	4

itd.

	1
więc w uogólniając wyrażenie		wystąpi dokładnie (n+1 − k) razy
	k