ciag arytmetyczny kalafiorowa: Oblicz sumę: (2+¹₂)²+(4+¹₄)²+...+(2ⁿ+¹_2ⁿ)² doszłam do czegoś takiego: S_n=⁵₈n²+⁴⁵₈n i nie wiem czy to już koniec czy jeszcze trzeba coś z tym zrobić?

Anna: To już koniec.

Julek: kalafiorowa, czy mogłabyś pokazać swoje obliczenia ?

Anna:

	1
a1 = (2+		)2
	2

	1
a2 = (4+		)2
	4

	1
an = (2n + (		)n)2
	2

	a1+an
Sn =		* n
	2

	1   1   (2+ )2 + (2n+( )n)2   2   2
Sn =		*n =
	2

	n		3		1		1
=		* [(		)2 + 22n + 2*2n*(		)n + (		)2n ] =
	2		2		2		2

	n		9		1		n		1		1
=		*[		+ 2 + (		)n ] =		( 4		+ (		)n )
	2		4		4		2		4		4

Julek: Anno, prześlicznie dziękuje

Anna: Proszę bardzo. Dobranoc!

Bogdan: Nie zgadza się Anno, to nie jest ciąg arytmetyczny.

	1		1		1		n		1		1
(2 +		)2 + (4 +		)2 + ... + (2n +		)2 =		(4		+ (		)n)
	2		4		2n		2		4		4

Sprawdzenie: dla n = 1:

	1		25
L = (2 +		)2 =
	2		4

	1		1		1		1		9		9
P =		*(4		+		) =		*		=
	2		4		4		2		2		4

L ≠ P dla n = 2:

	1		1		25		289		389
L = (2 +		)2 + (4 +		)2 =		+		=
	2		4		4		16		16

	2		1		1		5		69
P =		*(4		+		) = 4		=
	2		4		16		16		16

L ≠ P

Bogdan: Proponuję tak rozpisać sumę:

	1		1		1		1
(21 +		)2 + (22 +		)2 + (23 +		)2 ... + (2n +		)2 =
	21		22		23		2n

= (2^1*2 + 2^2*2 + 2^3*2 + ... + 2^n*2) + (2 + 2 + 2 + ... + 2) +

	1		1		1		1
+ (		+		+ (23 +		+ ... +		) = A + B + C
	21*2		22*2		23*2		2n*2

w każdych nawiasach okrągłych jest suma na składników ciągu geometrycznego: A = 2^1*2 + 2^2*2 + 2^3*2 + ... + 2^n*2 = 4 + 4² + 4³ + ... + 4ⁿ =

	4n − 1
= 4*
	4 − 1

B = 2 + 2 + 2 + ... + 2 = 2n

	1		1		1		1
C =		+		+ (23 +		+ ... +		=
	21*2		22*2		23*2		2n*2

	1		1		1		1		1		1   1 −   4n
=		+		+		+ ... +		=		*
	4		42		43		4n		4		1   1 −   4

Bogdan: Zapis (2³ w wyrażeniu C jest zbędny, źle się wkleiło.

Eta: Witam nocnych Marków ja też podobnie rozpisałam; k=n k=n k=n ∑(2ⁿ+2⁻ⁿ)² = ∑(4ⁿ +2 **2ⁿ*2⁻ⁿ+4⁻ⁿ) =∑( 4ⁿ +2 +4⁻ⁿ) k=1 k=1 k=1 pierwsza i druga suma ciągu geometrycznego a środkowa to suma 2n dalej to już wynik taki jak u Bogdana

Bogdan: zamiast na powinno być n w zdaniu "w każdych nawiasach okrągłych jest suma n składników ciągu geometrycznego"

Bogdan: ciąg 2 + 2 + 2 + ... + 2 to ciąg geometryczny o ilorazie 1

Eta: Znowu chochliki buszują

Bogdan: Już mnie domownicy poganiają, życzę dobrej nocy

Eta: kapuściana ...... zasugerowała Annie nagłówkiem "ciąg arytmetyczny"

Eta: sorry miało być [Pkalafiorowa]] Bogdanie No tak , trzeba żonę troszkę ogrzać ( szczególnie w takie mrozy ) Dobranoc

Julek: No właśnie... ja myślę, że trzeba rozłożyć wyraz dla n−tego wyrazu

	1
4n + 2 +
	4n

	1−4n
Sn1 = 4
	−3

	1		1   1− n   4
Sn2 =		*
	4		3   4

	1−4n		1		1   1− n   4
Sn = 4		+		*		+ 2n =
	−3		4		3   4

	4n+1−4		1   1− n   4
=		+		+ 2n =
	3		3

1   4n+1−4 + 1− n   4
	+ 2n =
3

	4n+1− 4−n −3
=		+ 2n
	3

	4n+1− 4−n −3
Sn =		+ 2n
	3

Bogdanie, a czy ten wynik jest dobry? Pozdrawiam P.S − jeszcze nie sprawdzałem. Idę spać, dobranoc

Julek: uułaa, to się rozpisaliście

Eta:

Julek: Eta, może Ty sprawdzisz ?

Eta: jest...... ok

Eta: Teraz Julek możesz iść spokojnie do Miłych snów nie tylko o ciągach

Julek: Dziękuje Eta ! Dobranoc