calki calka:

	x' y'		β α α β	x y
Rozwazmy nastepujacy układ równan rózniczkowych		=			.

Znalezc exp(At)f dla α=0 i β=1, gdzie f = (1; 0). exp(At)f=e^(At)f Jak to obliczyc?

jc:

	0 1 1 0
M = Twoja macierz, I − maczierz jednostkowa, K =

M = βI + α K, K² = I

	ch αt sh αt sh αt ch αt
etM = etβ eαtK = etβ (ch αt I + sh αt K) = etβ

calka: A jakis inny sposob?

jc: Można inaczej, ale tak jest najprościej. Którego miejsca nie rozumiesz? Jeśli K² = I, to e^tK = I + tK + t²K²/2! + t³ K³ /3! + t^k K⁴ /4! + t⁵K⁵ /5! + .. = (1+ t²/2! + t⁴/4! + ...) + (t+t³/3! + t⁵/5! + ...) K = = ch t I + sh t K

calka: A czym jest macierz K?

Adamm: przecież masz tam napisane

calka: exp(At)f=e^Atf, a nie tak jak wczesniej napisalem prawda?

Adamm: tak

calka: Ok. A jaki bylby inny sposob?

jc:

	1 1 1 −1		b+a 0 0 b−a		1 1 1 −1
A =		−1

	1 1 1 −1		et(b+a) 0 0 et(b−a)		1 1 1 −1
etA =		−1

Sam wykonaj mnożenie. Czy takie rozwiązanie Ci odpowiada?

calka: Nie wiedziałbym, ze tak trzeba rozpisac macierz A.

calka:

	t2		t3
A mozna byloby skorzystac ze wzoru eAtv=v+tAv+		A2v+		A3v+... ?
	2!		3!

jc: Przecież korzystamy z tego wzoru. Dobrze jest jednak skorzystać z rozłożenia

b a a b		1 0 0 1		0 1 1 0
	= b		+ b

	0 1 1 0		1 0 0 1
oraz z tego, że		2 =		.

Przy okazji, nie musisz dopisywać v.

calka: Ok. A dlaczego nie musze dopisywac v?

jc: Bo można zdefiniować granicę ciągu macierzy (sumę szeregu).

calka: Ja korzystajac z tego wzoru zrobilbym tak:

	1 0 0 1		1 0
A=		; f=

	t 0 0 t		t 0		1+t 0
etAf=f+tAf=f+		f=f+		=

jc: A co z dalszymi wyrazami szeregu? Czasem faktycznie szereg się urywa. Przykład

	0 1 0 0		1 0 0 1		0 1 0 0		1 t 0 1
A=		. etA=		+ t		=

	1 0 0 1		et 0 0 et
W przypadku A=		mamy jednak etA =		.

	1 0
Mnożenie przez f=		nic nie pomoże.

	et 0 0 et	1 0		et 0
etA f =			=

calka:

	et 0
Ok. Czyli ostateczna, poprawna odpowiedzia jest etAf=		tak ?

jc: Odpowiedź zależy od A. W pierwszym wpisie A było inne!

calka: A dla jakich macierzy A latwo stosuje sie wczesniejszy wzor z ta suma?

calka:

	β α α β		1 0 0 1
Dla macierzy A=		=		, czyli dla macierzy tego wyjściowego układu równan

	et 0
odpowiedzia bedzie etAf=		tak?

calka: ?

jc: TAK. −−−−−− W tak prostym przypadku mogłeś po prostu rozwiązać układ równań: x' = x y' = y x(0) = 1 y(0) = 0 x = e^t y = 0 KONIEC

calka: Ok. Dziekuje. A skad wiadomo, ze x(0) = 1, y(0) = 0? Bo x' = x y' = y powstaje z wymnozenia.

jc:

	1 0
f =

calki: A dlaczego te warunki poczatkowe sa w 0 (x(0), y(0))? Skad to wiemy?