równanania biedny: jak rozwiązać taką równość: x² − xy + y² = 0 ?

Metis: Dwie zmienne

biedny: x³ −x + y = 0 i y³ + x − y = 0 mam takie dwie nierówności

Adamm: aha, czyli mamy rozumieć że dodałeś obie, i teraz nie wiesz co z tym? to proste 3x²/4+(y−x/2)²=0 może mieć rozwiązanie tylko gdy oba wyrażenia pod kwadratami są równe 0 więc x=0, y=0

biedny: nie mam doświadczenia z takimi równaniami powiedziałbyś skąd jest ta 3 linijka u Cb w wpisie ?

jc: Pomnóż przez x+y. 0 =(x²−xy+y²)(x+y)= x³+y³ Wniosek: y = −x. Wtedy x²−xy+y² = 3x², a więc x=0, y=−x=0.

biedny: też zauważyłem ze y = −x ale jeśli wstawie to do drugiego równania to : y(y − √2)(y + √2) = 0 i mam az 3 rozw ...

Adamm: i tyle być powinno

biedny: coś się właśnie nie zgada bo dana jest funkjca : f = x⁴ − 2x² + 4xy + y⁴ − 2y² tamte równania to pierwsze pochodne cząstkowe a dla pkt z √2 hesjan wychodzi dodatni czyli f powinna mieć ekstremum w tym pkt a wolfram pokazuje ze nie ma

biedny: a nie ... sorry

biedny: źle wpisałem f w wolframa wszystko się zgadza, dzieki za pomoc

biedny: a korzystając z okazji jeśli wyznacznik hesjanu = 0 to co wtedy ? dla pkt 0,0 się zeruje i nie mogę określic

Adamm: wtedy musisz sprawdzać innym sposobem

jc: f_x = 4x³ − 4x + 4y f_y = 4y³ − 4y + 4x punkty stacjonarne, y=−x, x³ = 2x x=y=0 lub x=−y = ±√2 f_xx = 12x²−4 f_yy = 12y²−4 f_xy = f_yx = 4 x=y=0, Hesjan = 0 x=−y=±√2, Hesjan = 20²−4² > 0

biedny: jc wiem właśnie hesjan dla P(0,0) sie zeruje i nie mogę rozstrzygnąć

jc: f = x⁴ − 2x² + 4xy + y⁴ − 2y² = x⁴ + y⁴ − 2(x−y)² Jeśli oddalamy się od (0,0) po linii y=x, idziemy w górę. Jeśli oddalamy się od (0,0) po linii y=−x, f = 2x⁴ − 8x², dla małych x, −2 < x < 2 idziemy w dół. W (0,0) nie ma ekstremum.

Krzysiek: x²−xy+y²=0 (x−y)²=−xy x−y=0 ∧ xy=0 x=0, y=0

Adamm: Krzysiek, te przejścia są złe

Adamm: no chyba że je jakoś uzasadnisz