kombinatoryka Adamm: mamy n−kąt foremny (n≥3) wybierając 3 wierzchołki, jakie jest prawd. że utworzą one trójkąt ostrokątny zadanie wymyślone, jeśli ktoś rozwiąże, to dajcie znać o trudności tego zadania

Adamm: a jakie prawd. byłoby gdybyśmy wybierali 3 punkty na okręgu?

kochanus_niepospolitus: Jeśli chodzi o okrąg to sprawa prosta: wybieramy kolejno wierzchołka A, B, C A −−− dowolnie B −−− dowolnie C −−− na fioletowej części okręgu (uzależniona jest od pozycji B względem A i środka okręgu)

	2πr   2πr*2πr*   4		1
P(x) =		=
	8π3r3		4

z wielokątami to musiałbym bawić się w indukcję, a szczerze mówiąc ... nie chce mi się tego robić

Adamm: kochanus, nie wiedziałem że można tak mnożyć, to co napisałeś ma sens, dzięki

Adamm: w sumie to wiedziałem, ale tutaj mamy długość, a zazwyczaj jest pole czy objętość

kochanus_niepospolitus: wpisuję po prostu długość 'linii' na jaką 'rzucamy' punkty A,B,C

	1
Jedyne czego ktoś może nie wiedzieć, to dlaczego przyjmuję, że punkt C leży w		części
	4

okręgu (szczerze mówiąc, to nie wiem czy na poziomie liceum można to wyjaśnić )

Adamm: punkt C rozumiem na zasadzie intuicji, fioletowy obszar uśrednia się do 1/4 okręgu w sumie to chyba można to też obliczyć za pomocą całki

g: Wersja z okręgiem Załóżmy że wybieramy punkty po kolei. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa kąta między pierwszym a drugim punktem jest stała i równa f(α) = 1/π. Trójkąt będzie ostrokątny jeśli trzeci punkt znajdzie się na łuku o rozpiętości kątowej α, czyli z prawdopodobieństwem warunkowym równym α/2π (warunkiem jest że kąt jest równy α). Szukane prawdopodobieństwo to prawdopodobieństwo całkowite

	α		1		1		π2		1
P = ∫0π f(α)*		dα =		∫0π αdα =		*		=
	2π		2π2		2π2		2		4

Adamm: nie mówiłem o czymś takim, tylko o prawd. geometrycznym, bo tego już w ogóle nie rozumiem

'Leszek: Dla ucznia ze szkoly sredniej wedlug mnie wystarczy pokazac to na rysunku ,ktory przedstawil @ g: aby spelniony byl warunek zadania , trojkat ostrokatny to p.3 moze znajdowac sie tylko na luku cwiartki okregu .Jest to oczywiscie wizualizacja zadania, ale bardzo pogladowa i zrozumiala .

Rafal: Czy mógłby mi ktoś wyjaśnić, dlaczego fioletowy łuk ma długość 2πr/4?

Adamm: Rafal, fioletowy łuk nie ma długości 2πr/4

Rafal: Właśnie dlatego pytam, zauważyłem teraz rozwiązanie g, więc już nie ważne.

kochanus_niepospolitus: Postaram się to wyjaśnić 'na chłopski rozum', ale to chwilkę zajmie

kochanus_niepospolitus: Punkt 'A' jest wybierany losowo, ale że mamy okrąg to jakbyśmy nie wybrali punkt A, tak możemy tak przekręcić kartkę aby znalazł się w 'lewym rogu' (nie czepiać się ). Podzielmy teraz okrąg na 4 ćwiartki. Zauważ, że dla każdego (dowolnie wybranego) punktu B istnieje jego odpowiednik B'. Suma tych długości tych dwóch łuków niebieskiego i zielonego zawsze będzie równa połowie obwodu okręgu (πr). Im bliżej B będzie 'dolnej części okręgu' tym mniejszy będzie ten łuk (i dążył do

	πr		πr
		) a jednocześnie zielony łuk będzie większy (i także dążył do		)
	2		2

I tutaj musisz na intuicję (najłatwiej) zauważyć, że ŚREDNIA długość tego łuku będzie równa

	πr
1/4 obwodu okręgu czyli właśnie		.
	2

Mam nadzieję, że w miarę rozumiesz. A tak żeby Ci zagmatwać trochę sprawę to napiszę tylko, że z prawdopodobieństwem równym 1 mogę

	πr
napisać, że ten łuk NIGDY nie będzie miał długości DOKŁADNIE		(tak samo jak z pr.
	2

równym 1 punkt B nie będzie leżał na prostej przechodzącej przez środek okręgu i punkt A).

kochanus_niepospolitus: Jedyne co jeszcze musisz zrozumieć, to to dlaczego ten trzeci punkt musi leżeć gdzieś na tym łuku. Jako wskazówkę proponuję Ci zajrzeć do tw. o kątach opartych na tym samym łuku oraz kącie środkowym.

Adamm: kochanus, myślę że Rafal jest świadom czemu musi tam się znajdywać w końcu interesuje się geometrią

Rafal: kochanus, dziękuję, oczywiście samą ideę "uśredniania" rozumiem, ale jednak długość tego łuku zależy od położenia punktu B. Widocznie muszę się bardziej zagłębić w prawdopodobieństwo na poziome akademickim.

kochanus_niepospolitus: Rafał ... na poziomie akademickim jest bardzo często takie zadanie: na odcinku [0,1] wybieramy dwa losowo dwa punkty (A i B). Jakie jest prawdopodobieństwo, że

	1
długość odcinka [A,B] ≤
	4

	1		3
Dla ułatwienia ustalmy, że punkt A ląduje gdzieś pomiędzy (		,		).
	4		4

I masz tutaj wtedy dokładnie taką samą sytuację

Rafal: OK, poczytam trochę i za jakiś czas do tego wrócę.

kochanus_niepospolitus: oczywiście źle Ci napisałem dając to 'ułatwienie' bo cały szkopuł polega na tym, co będzie gdy A będzie w przedziale (0 ; 0.25) oraz (0.75, 1) i tu właśnie będzie to 'uśrednianie' przedziału dla punktu B

Adamm: 0≤x≤1, 0≤y≤1 szukamy prawd. że |x−y|≤1/4 ⇔ (x−y≤1/4 ∧ x−y≥0) ∨ (x−y≥1/4 ∧ x−y≤0) ⇔ ⇔ x−1/4≤y≤x ∨ x≤y≤x−1/4 ⇔ x−1/4≤y≤x wystarczy obliczyć pole prawd. wynosi 7/32

Adamm: pomyliłem się w nierówności bardziej 7/16

kochanus_niepospolitus:

	1		1		1		3		7
P(A) =		*		+		*		=
	2		2		2		8		16

zapomniałeś o tym, że 'B' może być "nad" A w tym przypadku

Adamm: wyprzedzam przyszłość

Adamm: właśnie, to z okręgiem też można byłoby tak policzyć

	∫02πr∫02πr∫0min(|x−y|, 2πr−|x−y|)dzdydx
P=
	8π3r3

tylko z tą całką byłby problem, pewnie trzeba byłoby ją rozdzielić na kilka mniejszych

powrócony z otchłani: Da sie ale trzeba by bylo troche sie z tym pobawic z przeksztalceniem okregu na prosta i wyznaczyc warunki 'odleglosci' C od B i A (ktory domyslnie bylby poczatkiem odcinka)

jc: Stawiam na 5/8.

Adamm: jc, z okręgiem czy to przykładowe zadanie wstawione przez kochanusa?

jc: Z okręgiem, 13:06.

Adamm:

	∫0π∫0xdydx+∫π2π∫02π−xdydx		1
P=		=
	4π2		4

tak będzie moim zdaniem

Adamm: nie podobało mi się uśrednianie w rozwiązaniu kochanusa

jc: Cóż, masz rację, 1/4.

jc: 0 < α < π < b < 2π, β − α < π lub odwrotnie.