liczby pierwsze; podzielność jikan: Wykaż, że jeśli p jest liczbą pierwszą i jeśli p>5, to liczba p² −37 jest podzielna przez 12.

Krzysiek: to jest łatwe

Adamm: to jest równoważne temu że p²−1=(p−1)(p+1) jest podzielne przez 12 p jest nieparzyste, p=2k+1 p²−1=2k*(2k+2) więc 4|p²−1 jeszcze podzielność przez 3 p*(p−1)(p+1) jest zawsze podzielne przez 3, ponieważ 3 nie dzieli p to również (p−1)(p+1) jest zawsze podzielne przez 3 zatem p²−1 jest podzielne przez 12

jikan: nie wątpię, ale ja nie wiem jak się za to zabrać

jikan: skąd się wzięło p*(p−1)(p+1) ?

Adamm: iloczyn trzech liczb całkowitych jest zawsze podzielny przez 3

jikan: to wiem... może inaczej, skąd w ogóle ta część Twojego rozwiązania od zdania "jeszcze podzielność przez 3" się wzięła do tego momentu rozumiem mniej więcej

Adamm: skąd się wzięła? nie wiem, z mojej głowy

jikan:

Adamm: zrozum że niektóre rzeczy trudniej jest opisać po prostu przeczytaj to jeszcze raz, i nie zatrzymuj się jak czegoś nie rozumiesz

jikan: rozumiem wyjaśnienie podzielności p²−1 przez 4, ale nie widzę jak to jest również podzielne przez 3, stąd moje pytanie skąd wziąłeś iloczyn p*(p−1)(p+1)? skąd to p na początku się wzięło?

Krzysiek: p²−37≡p²−1 mod 12 p²−1=(p−1)(p+1), p jest nieparzyste więc p−1 dzieli się przez 2 i p+1 dzieli się przez 2, więc iloczyn (p−1)(p+1) dzieli się przez 4 p nie jest podzielne przez 3, więc albo p−1 jest podzielne przez 3 albo p+1 jest podzielne przez 3 czyi iloczyn (p−1)(p+1) jest podzielny przez 12

Adamm: jak chcesz coś udowodnić to nie wszystko możesz udowodnić od tyłu niektóre rzeczy musisz poprowadzić z wcześniejszych wniosków tak samo, ja wiem że p*(p−1)(p+1) jest podzielne przez 3 i to wykorzystałem

jikan: to ma sens teraz chyba rozumiem nie wiem jeszcze do końca dlaczego p²−37≡p²−1 mod 12, ale mniejsza z tym

Krzysiek: p²−37 daje taką samą reszte co p²−1 przez 12 bo p²−37 = p²−1−36

Krzysiek: a 36 jest podzielne przez 12

jikan: chyba ogarniam, dzięki