Oblicz pochodne cząstkowe i sprawdz czy są ograniczone olka: Oblicz pochodne cząstkowe i sprawdz czy są ograniczone g(x)={ 0, dla (x,y)=(0,0)

	xy
{		, dla (x,y) ≠ (0,0)
	√x2 + y2

Adamm: g(x) ?

Adamm:

	xy
gx oraz gy poza punktem (0; 0) liczysz ze wzorów jako pochodne cząstkowe
	√x2+y2

g_x(0; 0) oraz g_y(0; 0) liczysz wprost z definicji

olka: to wiem chodzi mi bardziej o druga czesc zadania czy sa ograniczone

Adamm: to podaj jakie funkcje ci wyszły, ja tego liczyć nie będę

olka:

	x   y√X2+y2−   √X2+y2
1.
	X2+y2

	y   x√X2+y2−   √X2+y2
2.
	X2+y2

Adamm: 1. podstaw y=0 i licz granicę przy x→0 2. podstaw x=0 i licz granicę przy y→0 są nieograniczone

olka: tyle ze ma wyjsc ze sa one ograniczone

Adamm: ciekawe, bo są nieograniczone może źle je policzyłaś

Adamm: tak, oczywiście że źle policz to jeszcze raz

Jerzy:

	xy2   y√x2+y2 −   √x2+y2
g'x =
	x2 + y2

Jerzy: Sorry .... w liczniku w ułamku ma być: x²y

Adamm: dobra, nie będę czekał aż to zrobisz dobrze

	y		x2y		y		x2y
|gx|=|		−		|≤|		|+|		|
	√x2+y2		(x2+y2)3/2		√x2+y2		(x2+y2)3/2

	y
|		|≤1 i tutaj mamy dla dowolnych x, y różnych od 0
	√x2+y2

	x2y
|		|≤1 również dla dowolnych x, y różnych od 0
	(x2+y2)3/2

wniosek: |g_x|≤2 dla dowolnych x, y różnych od 0, a dla punktu (0; 0) wynosi tyle ile ci wyszło g_y analogicznie jako że jest to ta sama funkcja, tylko z zamienionymi x oraz y miejscami

Adamm: różnych od 0, ale oczywiście jednocześnie

olka: skad wiemy ze ta druga nierownosc jest mniejsza badz rowna 1?

	x2y
|		| ≤1
	(x2+y2)3/2

Adamm: wystarczy przekształcić równoważnie |x²y|≤(x²+y²)^3/2 x⁴y²≤x⁶+3x⁴y²+3x²y⁴+y⁶

	1
widać że nawet ≤
	3