Oblicz granicę ciągu Caprylica: Mam obliczyć granicę ciągu a_n lim_n→∞ a_n gdzie a_n+1 = 1,5a_n−20 a₀=100 z granicami funkcji nie mam żadnego problemu, ale gr ciągów całkowicie leżą u mnie. Jak to rozwiązać?

Adamm: ja kocham takie zadania a_n+1−a_n=0,5a_n−20>0 dla a_n>40 1. a₀>40 2. zakładamy a_n>40 3. a_n+1=1,5a_n−20>40 na mocy indukcji a_n>40 zatem ciąg jest rosnący teraz załóżmy że istnieje skończona granica g wtedy lim_n→∞ a_n = lim_n→∞ 1,5a_n−20 g=1,5g−20 g=40 ale ciąg jest rosnący, więc a_n≥100, granica nie może wynosić 40 zatem ciąg dąży do ∞

Caprylica: dzięki Adamm, będę teraz rozkminiać co tu się wydarzyło

Adamm: można też wyznaczyć wzór ogólny i tak liczyć, bo a_n jest dosyć proste A(x)=∑_k=0^∞a_nxⁿ=a₀+∑_k=1^∞a_nxⁿ= =a₀+∑_k=0^∞a_n+1xⁿ⁺¹=a₀+x∑_k=0^∞(1,5a_n−20)xⁿ= =a₀+1,5x∑_k=0^∞a_nxⁿ−x∑_k=0^∞20xⁿ=

	20x
=100+1,5xA(x)−
	1−x

	100−120x		A		B
A(x)=		=		+
	(1−1,5x)(1−x)		1−1,5x		1−x

100−120x=A−Ax+B−1,5Bx A+B=100, 120=A+1,5B B=40, A=60

	60		40
A(x)=		+		=∑n=0∞60(3/2)nxn+∑n=0∞40xn=
	1−1,5x		1−x

=∑_n=0^∞[60*(3/2)ⁿ+40]xⁿ a_n=60*(3/2)ⁿ+40 od razu widać granicę