Równanie wykladniczne Adam: Rozwiąż równanie

1		1		1		1
	+		+		+		= 1
(x+5)(x+6)		(x+6)(x+7)		(x+7)(x+8)		(x+8)(x+9)

Podobno można zastosować jakiś wzór aby to rozwiązać szybciej

Adamm:

1		1		1
	=		−
(x+1)x		x		x+1

równanie sprowadza się do

1		1
	−		=1
x+5		x+9

'Leszek: Rozloz ulamki :

1		1		1
	=		−
(x+5)(x+6)		x+5		x+6

	1		1
i.t.d i otrzymasz :		−		= 1
	x+5		x+9

Ala to nie jest rownanie wykladnicze tylko rownanie wymierne !

Adamm: nie zapomnij o dziedzinie!

Maryla27:

1		1		1
	=		−
(x+1)x		x		x+1

Czy to jest jakiś wzór do zapamiętania, czy trzeba na to wpaść na to, że ten mianownik ma taką postać i sobie wyprowadzić? Proszę o odpowiedź.

'Leszek: Nie ma wzoru , jest to metoda ktora warto pamietac , w podobny sposob juz na tym forum byly rozwiazywane zadania :

	1		1		1		1
Obliczyc sume:		+		+		+ .....
	1*2		2*3		3*4		49*50

Maryla27:

	1
Właśnie próbowałam wyprowadzić. ... =		i nie wiem co dalej. W drugą stronę się
	x2+x

zgadza. Świetny wzór. Bardzo dziękuję.

Adamm: to nie jest wzór to zapamiętania to się nazywa rozkład na ułamki proste, i jest szeroko stosowany, do np. całek z funkcji wymiernych (cokolwiek to znaczy) jak chcesz, to zapamiętaj, teraz to co ci powiem ci się przyda na studiach mając dowolną funkcję wymierną

W(x)
	przy czym stopień W(x)<stopień Q(x) do czego możemy zawsze
Q(x)

(W oraz Q to wielomiany)

	x3		x*(x2+1)−x		x
doprowadzić, np.		=		=x−		i taką funkcją jest
	x2+1		x2+1		x2+1

x
x2+1

niech Q(x) wygląda tak Q(x)=a*(x−x₁)^α₁*...*(x−x_k)^α_k(x²+a₁x+b₁)^β₁*...*(x²+a_nx+b_n)^β_n i tutaj dla wielomianów x²+a_ix+b_i mamy a_i²−4b_i<0, czyli te wielomiany są nierozkładalne a α_i oraz β_i to jakieś liczby naturalne, i są to krotności występowania tych wielomianów w takim rozkładzie to wtedy możemy zapisać

W(x)		A1, 1		A1, 2		A1, α1
	=		+		+...+		+...
Q(x)		x−x1		(x−x1)2		(x−x1)α1

	Ak, αk		B1, 1x+C1, 1
...+		+		+...
	(x−xk)αk		x2+a1x+b1

	B1, β1x+C1, β1
...+		+...
	(x2+a1x+b1)β1

	Bn, βnx+Cn, βn
...+
	(x2+anx+bn)βn

po czym mnożymy wszystkie mianowniki i z równości wielomianów, czyli każdy współczynnik przy potędze musi być taki sam, np. x²+ax+b=bx²+cx+d, stąd wynika że 1=b oraz a=c oraz b=d takim sposobem wyznaczasz niewiadome wyrażenia A_{1, 1} itd. rozwiązując układ równań np.

1		A		B
	=		+		, rozwiązując układ równań możesz wyznaczyć A oraz B
(x+1)x		x		x+1

dużo było tłumaczenia, ale chciałem ci dużo wytłumaczyć, spróbuj np. z

x
(x2+x+1)(x+1)

Maryla27: Dziękuję bardzo.

Mariusz: Rozkład na sumę ułamków prostych przydaje się tam gdzie mamy liniowość oraz funkcję wymierną Jeśli chodzi o całowanie funkcji wymiernych to proponuję taki schemacik

	L(x)
∫		dx
	M(x)

1. deg L(x) ≥ deg M(x) Dzielisz licznik przez mianownik

	L(x)		R(x)
∫		dx=∫W(x)dx+∫		dx
	M(x)		M(x)

2. deg gcd (M(x),M'(x))≠0 {Mianownik posiada pierwiastki wielokrotne, mogą być zespolone}

	R(x)		R1(x)		R2(x)
∫		dx=		+∫		dx
	M(x)		M1(x)		M2(x)

M₁(x)=gcd (M(x),M'(x)) M(x)=M₁(x)M₂(x) deg R₁(x) < deg M₁(x) deg R₂(x) < deg M₂(x) Jeśli mianownik funkcji podcałkowej jest rozłożony na czynniki to w mianowniku pod całką zostawiasz tylko czynniki jednokrotne a do mianownika części wymiernej bierzesz czynniki w krotności o jeden mniejszej Liczniki R₁(x) oraz R₂(x) znajdujesz metodą współczynników nieoznaczonych 3. deg gcd (M₂(x),M₂'(x))=0 {Mianownik posiada tylko pierwiastki pojedyncze, mogą być zespolone} Tutaj rozkład na sumę ułamków się przydaje Niech M₂(x)=(x−a₁)(x−a₂)*...*(x−a_k) (x²+p₁x+q₁)(x²+p₂x+q₂)*...*(x²+p_mx+q_m)

R2(x)		A1		A2		Ak
	=		+		+...+
M2(x)		x−a1		x−a2		x−ak

	B1x+C1		B2x+C2
+		+
	x2+p1x+q1		x2+p2x+q2

	Bmx+Cm
+...+
	x2+pmx+qm

Trójmiany kwadratowe występujące w rozkładzie wygodniej będzie zapisać w postaci kanonicznej