matematykaszkolna.pl
nierówności kama: x,y,z−rzeczywiste oraz 0<x≤ y≤z≤ 3yz≤ 6, xyz≤ 6. Wykaż że x+y+z≤ 6.
9 maj 22:19
relaa: Tam na pewno 0 < x ≤ y ≤ z ≤ 3yz ≤ 6?
9 maj 23:19
kama: tak było w poleceniu tez mnie to zdziwiło
9 maj 23:20
relaa: Mam pomysł na 0 < x ≤ y ≤ z ≤ 3 ∧ yz ≤ 6 ∧ xyz ≤ 6.
9 maj 23:22
kama: Jak w tym przypadku?
9 maj 23:23
relaa: Wykorzystując nierówność AM ≥ GM i szacowanie.
9 maj 23:24
kama: mozesz napisać bede wdzieczna
9 maj 23:25
relaa: Z AM ≥ GM mamy
1 2 3 
+
+
x y z 
 6 
≥ (
)1/3
3 xyz 
1 2 3 6 
+
+
≥ 3(
)1/3
x y z xyz 
 1 2 3 6 
x(
+
+
) ≥ 3x(
)1/3
 x y z xyz 
2 3 
+
y z 
 6 
≥ (
)1/2
2 yz 
2 3 6 
+
≥ 2(
)1/2
y z yz 
 2 3 6 
(y − x)(
+
) ≥ 2(y − x)(
)1/2
 y z yz 
3 3 
≥
z z 
 3 3 
(z − y)
≥ (z − y)
.
 z z 
Dodając stronami dostajemy
 1 2 3 2 3 3 
x(
+
+
) + (y − x)(
+
) + (z − y)
= 6 ≥
 x y z y z z 
 6 6 3 
3x(
)1/3 + 2(y − x)(
)1/2 + (z − y)
≥
 xyz yz z 
 xyz yz z 
3x(
)1/3 + 2(y − x)(
)1/2 + (z − y)
=
 xyz yz z 
3x + 2(y − x) + z − y = x + y + z.
9 maj 23:32