algebra Benny: Podaj wzór odwzorowania wieloliniowego antysymetrycznego f:R³ x R³ x R³−>R takiego, że f((1,1,1),(0,1,−1),(−1,1,1,))=16 i udowodnij, że jest wieloliniowe.

jc: = 4*wyznacznik(u,v,w), u,v,w ∊ R³

Benny: Nie ogarniam.

jc: Antysymetryczne n−liniowe przekształcenie z Rⁿ w Rⁿ jest proporcjonalne do wyznacznika. To nie jest trudne, ale jest trochę pisania. Weźmy Twój przykład. Rozpisz każdy wektor w bazie standardowej. Otrzymasz 27 składników. Składniki, w których elementy bazowe powtarzają się będą zerami. Zatem mamy 6 składników. Te składniki różnią się tylko znakami. ...

jc: Rozpiszę dla n=2.

a c

b d

1 0

0 1

1 0

0 1

F [

,

] = F [ a

+ c

, b

+ d

]

	1 0		1 0		1 0		0 1
=ab F[		,		] + ad F[		,		]

	0 1		1 0		0 1		0 1
+cb F[		,		] + cd F[		,		]

	1 0		0 1
= (ad−cb) F[		,		]

Benny: Nie ogarniam czemu taka różnica.

Benny: http://wms.mat.agh.edu.pl/~msekowsk/odwzorowania_wieloliniowe.pdf Znalazłem coś pod twierdzeniem piątym.

Benny: Dostaje, że f((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))*4=16. Jak z tego znaleźć wzór?

jc: Dostajesz wzór f(u,v,w) = C*det(u,v,w). Podstawiasz dane wektory i otrzymujesz równanie 16 = C*4, C=4. Masz więc wzór: f(u,v,w) = 4*det(u,v,w).

Benny: Skąd ten wzór?

jc: Przeanalizuj rachunek z 20:47. Wynika z niego, że f(u,v) = f(e₁, e₂) det(u,v). Rachunek został przeprowadzony dla n=2, ale nie trudno go uogólnić na dowolny wymiar. Podobne rachunki znajdziesz na stronie, do której podałeś linka.

Benny: Ok chyba rozumiem, lecz wydaje mi się że działa to tylko dla bazy kanonicznej, jeśli się nie mylę.

jc: g₁, g₂ nie muszą nawet tworzyć bazy: f(ag₁+ bg₂, bg₁+dg₂)=...=(ad−bc)f(g₁,g₂) Z powyższego wzoru wynika wzór det(AB)=det(A)det(B).

Benny: No nie mogę tego przekształcić jak Ty.

Benny: ad−cb bierze się z tego że jest antysymetryczne, ale czemu tamto się skraca to nie mam pojęcia.

Benny: bo antysymetryczne jest alternujące?

jc: f(ag1+ bg2, cg1+dg2) = f(ag1, cg1) + f(ag1,dg2) + f(bg2, cg1) + f(bg2, dg2) = ac f(g1, g1) + ad f(g1,g2) + bc f(g2, g1) + bd f(g2, g2) = (ad−bc) f(g₁,g₂) bo f(g₁,g₁)=f(g₂,g₂)=0, f(g₂,g₁)=−f(g₁,g₂).

jc: alternujący = antysymetryczny

Benny: Doczytałem trochę, alternujący ≠ antysymetryczny. Dla rzeczywistych owszem.