Znajdź wszytskie liczby rzeczywiste k spełniające równanie - liczby zespolone leena: Cześć, mam do rozwiazania zadanko: ustal wszystkie liczby rzeczywiste k, takie, że równanie z³ + 6z² + kz = 0 posiada trzy rzeczywiste rozwiązania. Od czego mam zacząć?

kochanus_niepospolitus: z³ + 6z² + kz = 0 z(z² + 6z + k) = 0 z = 0 ∨ z² + 6z + k = 0 z = 0 ∨ Δ>0 ... rozwiązujesz

Jerzy: Od zuważenia,że jedno rozwiązanie ( niezależne od k ) już widać: z = 0

Jerzy: Obydwa rozwiązania równania kwadratowego muszą być różne od 0.

leena: a jak rozwiązać to równanie kwadratowe z niewiadomymi k i z?

kochanus_niepospolitus: droga studentko ... coś takiego z pewnością rozwiązywałaś w liceum

kochanus_niepospolitus: Δ = 6² − 4*1*k = 36 − 4k Δ>0 ⇔ 36−4k > 0 ⇔ k < ... i teraz jeszcze odrzucić musisz k=0 ... bo wtedy z²+6z+k jest postaci z² + 6z = z(z+6) więc jednym z rozwiązań jest z=0 ... które już jest (a mają być 3 RÓŻNE rozwiązania).

leena: Czy rozwiązania to: z₁ = 0 z₂ = −3 + √10 z₃ = −3 − √10 ?

leena: przykro mi Janusz, ktoś podszywa się pod mój nick

kochanus_niepospolitus: absolutnie nie ... rozwiązania z₂ i z₃ są zależne od parametru k

leena: Okej, już widzę swoje głupie błędy. Ale mam pytanie do założenia Δ > 0. Bo szukamy 3 różnych rozwiązań. To mamy już z₁=0 a z₂ i z₃ powinny być dwoma różnymi rozwiązaniami czyli nie powinna być Δ≥0?

kochanus_niepospolitus:

	−b + 0
jeżeli masz Δ=0 to otrzymujesz jedno (podwójne) rozwiązanie: z2,3 =
	2a

kochanus_niepospolitus: dlatego właśnie musi być Δ>0 ... aby były z tego nawiasu dwa RÓŻNE rozwiązania

leena: Czyli odnośnie Twojego posta, kochanus niepospolitus z 17:33, to powinno być k < 9 ?

kochanus_niepospolitus: tak ... dla k<9 równanie (z² −6z + k)=0 ma dwa różne rozwiązania teraz jeszcze musisz sprawdzić, dla jakiego 'k' jednym z tych rozwiązań będzie z=0 (podstaw z=0) i 'odrzuć' to k z rozwiązania.

leena: masz na myśli wzór z² − 6z + k=0 ? Bo jak wstawię za z zero, to to wyjdzie mi, że dla k=0.. ale to nie chyba o ten wzór chodzi?

AiO: Tak o ten Wiemy Ty i ja z liceum ze jesli c=0 to mmay rownanie kwadratowe niezupelne czyli postaci ax²+bx=0 To rownanie rozwiazujemy w ten sposob ze wyciagamy x przed nawias x(ax+b)=0 ⇒x=0 lub ax+b=0 (widzisz ze jednym z rozwiazan jest zero

leena: dzięki za wskazówki, przyznam, że wychodzą braki z liceum czy rozwiązaniem zatem będzie z₁,₂=0 i z₃=6

kochanus_niepospolitus: nie Leena zresztą ty nie masz wyznaczać rozwiązań tego równania ... ty masz napisać dla jakiego parametru k będą trzy (różne) rozwiązania

kochanus_niepospolitus: a rozwiązaniami tego równania będą:

	6 − √Δ		6 − √36−4k
z1 = 0 ; z2 =		=		= 3 − √9−k ; z3 = 3 + √9−k
	2		2

dla k<9 ⋀ k≠0