nierówność mat: Jak sie komuś nudzi

	a		b
|		−		|≤|a−b|
	1+a2		1+b2

mat: pokazać, że zachodzi dla dowolnego a,b∊R

kochanus_niepospolitus:

	a		b		a−b + ab2 − ba2
L = |		−		| = |		| =
	1+a2		1+b2		(1+a2)(1+b2)

	(a−b) − ab(a−b)		(a−b)(1 − ab)
= |		| = |		|
	(1+a2)(1+b2)		(1+a2)(1+b2)

i teraz wykażemy, że:

	(1 − ab)
|		| ≤ 1
	(1+a2)(1+b2)

|(1−ab)| ≤ 1 + a² + b² + (ab)² 1^o niech ab < 1 wtedy: |1 − ab| = 1 − ab < 1 < 1 + a² + b² + (ab)² niech ab>1 wtedy: |1−ab| = ab − 1 < ab + 1 < (ab)² + 1 < 1 + a² + b² + (ab)² c.n.w.

mat: Szalejesz kolego! gratulacje

kochanus_niepospolitus: oczywiście, moje rozwiązanie nie jest do końca poprawne, ponieważ: 1^o niech ab ∊ (0,1) więc dojdzie jeszcze 3^o niech ab<−1 |1−ab| = 1 − ab < 1 + (ab)² oraz 4^o niech ab∊(−1,0) (i tutaj jest pies pogrzebany) bez utraty uogólnienia załóżmy, że |a| ≥ |b| (a więc: |ab| ≤ a²) |1−ab| = 1 − ab = 1 + |ab| ≤ 1 + a² < 1 + a² + b² + (ab)²

mat: Brawo za spostrzeżenie, sam już o tym nie pomyslalem o tej porze

Jack: Dlaczego robimy ≤ 1 post 22:55

kochanus_niepospolitus: Wychodzi nam, że: Lewa = |Prawa * coś| ... w takim razie L≤P tylko wtedy gdy |coś| ≤ 1 ... prawda

Jack: A no ok. Fakt. Dziena

powrócony z otchłani: Tak po nocy patrze na to co zrobilem i stwierdzilem ze rozdzielanie na przypadki bylo calkowicie niepotrzebne, wystarczy przeciez: Zalozmy ze |a| ≥ |b| (jako ze a,b dowolne to nie tracimy tutaj uogolnienia), a wiec a² ≥ |ab| |1 − ab | ≤ 1 + |ab| ≤ 1 + a² ≤ 1 a² + b² + (ab)²