Udowodnij, że dla dowolnego naturalnego n Kraterek: Udowodnij, że dla dowolnego naturalnego n≥2

1		1		1
	+		+...+		<1
22		32		n2

Krzysiek: indukcja magnetyczna

mat: matematyczna*

mat: chociaz nie wiem, czy w tym przypadku indukcja pomoże

po prostu Michał:

1		1		1		π2
	+		+ ... +		=		− 1
22		32		n2		6

zatem przekszaltacajac nierownosc rownowaznie

π2
	− 1 < 1
6

π2
	< 2
6

π² < 12 co jest oczywiste.

Maciek: niech ktoś mądrzejszy ode mnie powie, czy dobrze myślę: zakładamy że mamy ciąg an: 1/a1+1/a2+...+1/an i ten ciąg na górze to: 1/a1²+1/a2²+...+1/an² jakby to okazało się prawidłowe, to dalej już prosto

mat:

	π2
hahhaha, ta suma do nieskonczonosci to		, ale to tez nie takie oczywsite..
	6

po prostu Michał: to nic innego jak problem bazylejski...

mat: Maciek − masz racje, ale nie wiem co ci to da

mat: wiem, ale pytający raczej nie wie co to szreg i tym bardziej skąd sie bierze taka suma tego szeregu. Raczej liczy na elementarne pokazanie tej nierónosci

Master: mat indukcja zawsze działa

mat: Być może sie to jakoś uda indukcją, mówie tylko, że takie proste podejście indukcyjne nie zadziała (bezpośrednio)

jc: 1/2² + 1/3²+ 1/4² + ... + 1/n² < 1/2 + 1/2/3 + 1/3/4 + ... + 1/(n−1)/n = (1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + (1/3 − 1/4) + ... +(1/(n−1) − 1/n) = 1 − 1/n < 1 Możesz indukcyjnie, ale zajmij się mocniejszą nierównością 1/2² + 1/3²+ 1/4² + ... + 1/n² < 1 − 1/n

Master: I ciąg mogę rozbić łatwo np ¹_2²=¹₂−¹₄

mat: sprytne jc!

Kraterek: dzięki

Krzysiek:

1		1		1		1		1		1
	+		+...+		<		+		+...+		<1
22		32		n2		22−1		32−1		n2−1

1		1		1		1		1		1
	+		+...+		=		+		+...+		=
22−1		32−1		n2−1		(2−1)(2+1)		(3−1)(3+1)		(n−1)(n+1)

	1   1   1   1   1   1   − + − +...+ − 2−1   2+1   3−1   3+1   n−1   n+1
=		=
	2

	1   1   1   1   + − − 1   2   n   n+1		3		1   1   + n   n+1
=		=		−		<1
	2		4		2

mat:

	3
bardzo fajne i jeszcze lepsze oszacowanie, bo przez
	4

Adamm: a najlepsze oszacowanie to <π²/6−1≈0,6449

mat: ja wiem ze to jest najładniejsze, ale bardzo nieoczywiste

Adamm: szkoda że dla potęg trzecich nie ma takiego ładnego oszacowania czy ogólnie dla nieparzystych

jc: 1/2³ + 1/3³ + ... + 1/n³ < 1/(2³−2) + 1/(3³−3) + ...+ 1/(n³−n) = 1/2 [ (1/1/2 − 1/2/3) + (1/2/3 − /1/3/4) + ... + ( ... ) ] = = 1/2 [ 1 − 1/n/(n+1)] < 1/2

mat: Tak, tylko dla parzystych jest tak ,,łatwo" np

	1		1		π4
1+		+		+... =
	24		34		90

mat: Dziękujemy jc, tak wiaodmo, ze oszacowanie sie jakies da zrobic, tylko Adammowi chodziło o ładną sume szeregu, bo to najlepsze oszacowani jakie można dać

jc: Appery zapisał wynik w postaci ułamka łańcuchowego.