ciąg Malik: Niech x_n ciąg taki że x₁=ln(a); x₂ = ln(a−ln(a)), x_n+1= ln(a−x_n) Jak wykazać montoniczność i ograniczoność? Potrzebne mi jest to do wykazania granicy ciągu.

Adamm: najpierw zauważmy że x₁≤lna jeśli x_n≤lna to x_n+1=ln(a−x_n)≤ln(a−lna)≤lna to pozwala nam na ustalenie dziedziny a>0 oraz a−lna>0 w dodatku a−x_n>0 ponieważ a>lna≥x_n czyli a>0 x₂−x₁=ln(1−lna/a)<ln1=0 jeśli x_n+1−x_n<0 to

	xn−xn+1
xn+2−xn+1=ln(a−xn+1)−ln(a−xn)=ln(1+		)<0
	a−xn

funkcja zatem maleje jeszcze, jeśli granica skończona istnieje to wynosi a−W(e^a), jeśli nie to wynosi −∞, jedyny problem jest w tym czy ciąg jest ograniczony z dołu

Adamm: stój, chyba się pomyliłem

Malik: Dzięki jeszcze własnie ograniczoność ?

Malik: Gdzie pomyłak dla mnie wygląda ok

Adamm: ln(a−lna)≤lna tutaj, muszę to jeszcze przemyśleć

Malik: no według mnie trzeba rozwayc dwa przypadki dla a>=1 oraz dla a (0,1)

Adamm: no więc tak wykazaliśmy że ciąg maleje jeśli ciąg jest malejący to x_n+1−x₁=ln(a−x_n)−lna<0 0<x_n ale nie widzę jak nas to zbliża do wyznaczenia dziedziny

Adamm: x_n>0 ⇒ x_n>a−e^a ⇒ e^a>a−x_n ⇒ a>ln(a−x_n) ⇒ a>x_n+1 o ile a>x_n czyli jeśli a>x_n to również a>x_n+1 więc dla dowolnego a>0 faktycznie ciąg jest sensowny w tym rzeczywistym sensie

jc: Lepsze byłoby pytanie: dla jakich wartości a ciąg x_n ma granicę. Dla a niedużo większych od 1 ciąg raczej nie ma granicy.

Adamm: jc, właśnie, nie mogę sobie z tym poradzić ja chyba sobie odpuszczę, bo dużo już zamieszałem

jc: Myślę, że dużo może wyjaśnić odpowiedni rysunek. Podoba mi się zadanie, jednak mam zaległą pracę do wykonania.

g: przykład a = e⁻², x₁ = −2, x₂ = ln(e⁻²+2)≈0.76, x₃ = ln(e⁻²−0.76) = ln(−0.62) ......

jc: Myślę, że dla a < 1 w pewnym momencie coś się zepsuje. Może wieczorem do tego wrócę.

Malik: Moze ktoś pokaże to do końca....

g: a=1+ε (ε > 0) x₁≈ε−o(ε²) x₂≈o(ε²) x₃≈ε−o(ε²) a=1−ε (ε > 0) x₁≈−ε−o(ε²) x₂≈o(ε²) x₃≈−ε−o(ε²) czyli że dla małego ε, takiego że o(ε²)<<ε ciąg nie jest monotoniczny, przynajmniej początkowo.

Malik: To ten ciąg nie ma granicy?

g: Załóżmy że ma granicę g. Wówczas g=ln(a−g). Ta granica powinna być stabilna, t.zn. że jeśli się ją lekko zaburzy, to dalsze iteracje powinna wracać do g.

	d[ln(a−xn)]
dxn+1 =		*dxn
	dxn

	dxn+1
Będzie stabilnie gdy		∊ (−2; 0)
	dxn

d[ln(a−g)]		−1
	=
dg		a−g

0 < (a−g) < 1/2 Ta nierówność wyznacza dopuszczalny zakres granicy. Inna sprawa czy i kiedy ta granica jest osiągalna.

g: To teraz pytanie: czy istnieje taka para (a,g) żeby jednocześnie spełnić g=ln(a−g), oraz 0 < (a−g) < 1/2 rozwiązaniem jest ln(1/2) < a < ln(1/2)+1/2 a−1/2 < g < a

Adamm: g=ln(a−g) e^g=a−g e^a=(a−g)e^a−g a−g=W(e^a) g=a−W(e^a) gdybyś chciał mieć to w zwartej postaci https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_W_Lamberta

g: Ale niestety ln(1/2)+1/2 < 0, więc a<0, co uniemożliwia zaczęcie ciągu.

g: Ok, czyli jest metoda na wyznaczenie g w funkcji a. Proponuję zrezygnowanie z liczenia x₁=ln(a), tylko zaczęcie ciągu od x₁ z dopuszczalnego zakresu dla g. To nie załatwia całej sprawy, bo nie ma gwarancji, że ciąg zbliży się do granicy dostatecznie blisko, żeby go przyciągnęła. To ma coś z fraktalami wspólnego.

g: poplątałem trochę te nierówności, powinno być tak:

	−1
−2 <		< 0 ⇒ a−g > 1/2 ⇒ g > ln(1/2)
	a−g

i ostatecznie ln(1/2) < g < a−(1/2)

kochanus_niepospolitus: zacznijmy od tego, że musimy osobno rozpatrzyć dwa warunki: a>1 ; a<1 (a=1 jest przypadkiem trywialnym, więc go pomijam) a>1 ; wtedy lna > 0, więc ln(a − lna) < ln a <−−− (zapewne) ciąg malejący a<1 ; wtedy lna < 0, więc ln(a − lna) > ln a <−−− (zapewne) ciąg rosnący ciąg {x_n} z całą pewnością będzie ograniczony (dla dowolnego 'a'), natomiast w zależności od 'a' ciąg ten będzie monotoniczny, bądź będzie monotoniczny dopiero od x₂ ogólnie rzecz biorąc, ciąg: {x_n} = ln(a − x_n−1) ; x₁ = ln a jest ciągiem malejącym dla n≥2 i dowolnego a>0 tak więc, ciąg ten jest ograniczony przez: m = MIN{x₁ ; 0} M = MAX{x₁, x₂}

kochanus_niepospolitus: tfu ... dla a∊(0,1) ciąg ten będzie niemonotoniczny (i nie wiem czy będzie zbiegał do 0 czy też nie będzie przypadkiem okresowy). dla a>1 będziemy mieli ciąg monotoniczny i ograniczony przez co najmniej m=0

kochanus_niepospolitus: zauważmy, że dla a>1 zachodzi: 0 < x₁ = ln(a) < a−1 0 = ln1 = ln(a − (a−1)) < ln(a − ln(a) ) = x₂ < ln (a − 0) = lna = x₁ 0 = ln1 = ln(a − (a−1)) < ln(a − lna)) < ln (a − ln(a − ln(a)) ) = x₃ < ln(a) = x₁ .... itd. indukcja i 'jazda' Uwaga ogólna: ln x ≤ x−1 dla dowolnego x>0 (równość zachodzi dla x=1)

g: f(x) = ln(a−x) jest funkcją malejącą, więc x₃ < x₂ ⇒ ln(a−x₃) > ln(a−x₂) ⇒ x₄ > x₃ (i na odwrót) tak więc ten ciąg nie może być ani rosnący, ani malejący.

kochanus_niepospolitus: masz rację ... nie jest to ciąg monotoniczny

Malik: Czyli on nie jest zbieżne?

powrócony z otchłani: Jest ograniczony, nie jest monotoniczny. Czy jest zbiezny − tego chyba nikt nie rozstrzygnal jak narazie.

Malik: Bo orginalna treść brzmiała oblicz granicę tego ciagu. Ale zawsze uzasadniamy że ona istnieje.