Dowód Yves: Wykaż , że jeżeli a,b,c są liczbami dodatnimi to ^ab_c + ^bc_a + ^ac_b ≥ a + b + c

jc: a, b, c > 0 0 ≤ [ (1/a − 1/b)² + (1/b − 1/c)² + (1/c − 1/a)²] abc/2 = ab/c + bc/a + ca/b − a − b − c

zombi: Troszkę łatwiej, żeby zobaczyć do czego faktycznie tak jak u jc się sprowadza ta nierówność. Mnożymy obie strony przez / *abc (możemy). Otrzymujemy, (ab)² + (bc)² + (ac)² ≥ (ab)(ac) + (ab)(bc) + (ac)(bc), podstawienie p = ab, q = ac, r = bc (wszystko się zgadza, bo p,q,r > 0), p² + q² + r² ≥ pq + pr + qr, mnożymy obustronnie przez 2 i grupujemy do (p−q)² + (p−r)² + (q−r)² ≥ 0. Wszystko równoważnie

zombi: Jeszcze jeden pomysł mi przyszedł do głowy. Wykorzystamy prawdziwą dla liczb dodatnich x,y nierówność,

x+y
	≥ √xy. (1)
2

	ab		ac		ab		bc
Stosujemy (1) dla par liczb dodatnich odpowiednio (		,		), (		,		),
	c		b		c		a

	ac		bc
(		,		)
	b		a

Otrzymujemy

ab   ab   + c   c		ab		ab
	≥ √		*		= √a2 = a,
2		c		c

ab   bc   + c   a		ab		bc
	≥ √		*		= √b2 = b,
2		c		a

ac   bc   + b   a		ac		bc
	≥ √		*		= √c2 = c.
2		b		a

Dodając stronami mamy co chcemy

zombi: I jeszcze jeden, bodajże nazywa się to twierdzeniem o ciągach jednomonotonicznych (sprawdź wikipedia). Bez utraty ogólności o naszych a,b,c > 0 możemy założyć, że a≥b≥c (sprawdź co się stanie w poniższych rachunkach, jeśli założymy, coś innego). Po pierwsze zachodzi ab ≥ ac ≥ bc (*), aby to pokazać wystarczy podzielić przez abc i otrzymać ciąg odwrotności ciągu (a,b,c). Ponadto z tw. o cg. jm. (skróciłem) mamy, że

⎧	ab ac bc
⎩	1c 1b 1a

≥

⎧	ab ac bc
⎩	1b 1a 1c

stąd

ab		ac		bc
	+		+		≥ a + b + c.
c		b		a

zombi: Można również skończyć z nierówności Cauchy'ego−Schwarza dla przestrzeni R³ ze zwykłym iloczynem skalarnym tzn. dla x = (x₁, x₂, x₃), y = (y₁, y₂, y₃), oba x,y∊R³, mamy <x,y> = x1_y1 + x₂y₂ + x₃y₃. Nierównośc C−S mówi, że dla dowolnych x,y∊R³ mamy |<x,y>| ≤ ∥x∥*∥y∥, gdzie ∥ . ∥ − to norma w R³, czyli zwykła długość wektora zdefiniowana jako ∥x∥ = √x₁² + x₂² +x₃². Wówczas przekształcając naszą początkową nierówność równoważnie mnożąc przez abc do postaci (ab)² + (ac)² + (bc)² ≥ (ab)(ac) + (ab)(bc) + (ac)(bc), skorzystamy z n. C−S dla wektorów x = (ab, ac, bc) oraz y = (ac, bc, ab), mamy |<x,y>| = |(ab)(ac) + (ab)(bc) + (ac)(bc)| = (ab)(ac) + (ab)(bc) + (ac)(bc) ≤ (√(ab)²+(ac)²+(bc)²)*(√(ab)²+(ac)²+(bc)²) = ∥x∥*∥y∥. Ogólnie wszystko kręci się wokół tego samego

kyrtap: XD