okrąg opisany na czworokącie xxx: Na czworokącie ABCD można opisać okrąg.Dwusieczna kąta przy wierzchołku A i dwusieczna kąta przy wierzchołu B przecinają się w punkcie E leżącym na boku CD. Na boku CD wybrano punkt F taki, że |DA| = |DF|. Wykaż, że |BC| = |CF|.

xxx: podbijam

zadanko:

zadanko: Z założenia 2α+δ=180 oraz 2β+γ=180

xxx: No tak − i?

xxx: czy ktoś jest w stanie to szybko rozwiązać?

Mila: Masz błąd w treści. Punkt F obrano na boku ?

xxx: No właśnie mnie też to dziwi, ale zarówno punkt E (pkt przecięcia się dwujęzyczne kątów przy wierzchołkach A i B) i F leżą na boku CD

g: Z treścią wszystko jest w porządku. Punkt F jest tylko dla zmyłki. Chodzi o wykazanie, że AD+BC=CD. To wygląda na trudne. W szczególności nie wiem jak wykorzystać warunek, że dwusieczne przecinają się w punkcie leżącym na CD. Dlatego, żeby ominąć tą trudność, próbowałem wykazać trochę ogólniejszy przypadek, że czworokąt jest dowolny i dwusieczne przecinają się z CD w różnych punktach E1 i E2. Wtedy trzeba by udowodnić, że AD+BC=CE1+E2D. Gdyby to się udało, to zadanie było by też rozwiązane. Ale tego też jeszcze nie mam.

g: ... czworokąt dowolny, ale wpisany w okrąg.

Mila:

xxx: Czyli − jak rozumiem − zadanie sprowadza się do wykazania, że pkt E = F (pokrywa się)?

Mila: |FC|=BC| masz wykazać, czyli tak jak napisał g: |AD|+|BC|=|DC| myślę jak to zrobić. Skąd masz to zadanie?

xxx: Zadanie maturalne z jakiegoś arkusza próbnego. Małem na myśli w poprzednim poście, że chyba do tego to się sprowadzi−)

xxx: A może i nie

tobiaszek: Czy ma ktoś pomysł na to zadanie?

chichi: |∡ABE|=|∡EBC|=β |∡DAE|=|∡EAB|=α 1) Na czworokącie ABCD można opisać okrąg, zatem |∡ADF|=180°−2α 2) |AD|=|DF| ⇒ |∡DAF|=|∡DFA|=β 3) |∡AFC|=180°−β 4) Na czworokącie ABEF można opisać okrąg, ponieważ |∡ABE|+|∡AFC|=180°−β+β=180° 5) ∠EAB (wpisany oparty na łuku EB) 6) ∠EFB (wpisany oparty na łuku EB) 7) Z (6) i (7) wnioskujemy, że |∡EAB|=|∡CFB|=α 8) |∡ECB|=180°−2α 9) Z ΔFBC: 180°−2α+α+|∡FBC|=180° ⇒ |∡FBC|=α 10) |∡CFB|=|∡FBC| ⇒ |CF|=|BC| Q.E.D.

chichi: Mała poprawka w (1) |∡ADF|=180°−2β oczywiście

tobiaszek: Muszę poddać głębszej analizie to co Pan/Pani napisał/a, tak czy inaczej ogromne DZIĘKUJĘ.

Eta:

chichi: Nieeee, tylko nie Pan mam dopiero 20 lat. Ależ proszę Cię bardzo, w razie pytań pisz

chichi: @Eta A ty co tak skaczesz po postach i wstawiasz emotikony

Eta: Z nudów

BiałyMyjec: @chichi skąd wiesz że |∡DAF| i |∡DFA| równają się β? punkt (2)

BiałyMyjec: Ja rozumiem, że ten trójkąt jest równoramienny, ale czemu akurat β?

chichi: Napisalem, że na czworokacie ABCD można opisać okrąg, a to prosty wniosek |∡ABC|+|∡ADC|=180^o, ale my wiemy, że |∡ABC|=2β, zatem mamy 2β+|∡ADC|=180^o ⇒ |∡ADC|=180^o−2β ⇒|∡DAF|=|∡DFA|=β