Metoda zaburzania Patrycja: Witam bardzo proszę o pomoc w rozwiązanu (nie wiem jak rozwiązuje się metodą zaburzania przykłady z silnią)

	(k−1)
∑(od k=1 do n)
	k!

W piątek kolokwium

Pytający: ∑(od k=1 do n)(f(k))+f(n+1)=f(1)+∑(od k=1 do n)(f(k+1)) ⇒ ⇒ ∑(od k=1 do n)(f(k+1)−f(k))=f(n+1)−f(1) Zatem "wystarczy" znaleźć taką funkcję f(k), aby:

	k−1
f(k+1)−f(k)=		.
	k!

Metoda trochę na czuja, ale można dać radę, więc kombinujemy:

	g(k)
żeby mieć odpowiedni mianownik niech f(k)=		, wtedy:
	(k−1)!

	g(k+1)		g(k)		g(k+1)−k*g(k)
f(k+1)−f(k)=		−		=		.
	k!		(k−1)!		k!

Teraz można zauważyć, że dla g(k)=−1, wszystko gra:

	g(k+1)−k*g(k)		(−1)−k*(−1)		k−1
f(k+1)−f(k)=		=		=		.
	k!		k!		k!

Zatem znaleziona funkcja to:

	g(k)		−1
f(k)=		=
	(k−1)!		(k−1)!

Ostatecznie liczymy szukaną sumę metodą zaburzania:

	−1		−1		−1		−1
∑(od k=1 do n)(		)+		=		+∑(od k=1 do n)(		)
	(k−1)!		((n+1)−1)!		(1−1)!		((k+1)−1)!

	−1		−1		−1
⇒ ∑(od k=1 do n)(		)+		=−1+∑(od k=1 do n)(		) ⇒
	(k−1)!		n!		k!

	−1		−1		−1
⇒ ∑(od k=1 do n)(		−		)=		−(−1) ⇒
	k!		(k−1)!		n!

	−1		−k		−1		n!
⇒ ∑(od k=1 do n)(		−		)=		+		⇒
	k!		k!		n!		n!

	k−1		n!−1
⇒ ∑(od k=1 do n)(		)=
	k!		n!

Mila: Suma częściowa szeregu z silnią

	k−1
∑(k=1 do n)		=
	k!

	k		1
=∑(k=1 do n)		−∑(k=1 do n)		=
	k!		k!

	k		1
=1+∑(k=2 do n)		−∑(k=1 do n)		=
	k!		k!

	1		1
=1+∑(k=2 do n)		−∑(k=1 do n)		=
	(k−1)!		k!

	1		1		1		1
=1+		+		+		+..+		+
	1!		2!		3!		(n−1)!

	1		1		1		1		1
−(		+		+		+..+		+		)=
	1!		2!		3!		(n−1)!		n!

	1
=1−		=
	n!

	n!−1
=
	n!

=========