Dowodzenie 5-latek: Udowodnij ze |a+b|≤|a|+|b| Wskazowka Sposob nr 1 Rozpatrz przypadki 1) a≥0 i b≥0 2) a≥0 i b<0 i a≥|b| 3) a≥0 b<0 i a<|b| 4) a<0 i b<0 Sposob nr 2 Skorzystaj z nierownosci −|x|≤x≤|x|

Rafal: O ile się nie mylę, to można jeszcze inaczej. Ponieważ |x| ≤ |y| ⇔ x² ≤ y², więc |a+b| ≤ |a| + |b| = ||a|+|b|| ⇔ (a+b)² ≤ (|a|+|b|)² ⇔ a²+2ab+b² ≤ a²+2|ab|+b² ⇔ ab ≤ |ab|.

5-latek: dzieki Rafal ale chcialem tymi dwoma sposobami

5-latek:

Omikron: Jeżeli chodzi o sposób pierwszy to w każdym z przypadków pozdejmuj odpowiednio moduły i powinno wyjść.

5-latek: czesc 1. a≥0 i b≥0 |a+b|≤|a|+|b| a+b≤a+b 4a<0 b<0 |a+b|≤|a|+|b| −(a+b)≤−a−b −a−b≤−a−b A w pozostalych dwoch ? Troche ten tam trzeci warunek mi przeszkadza

Omikron: Cześć W 2 a jest dalej od 0 niż b (to wynika z ostatniego warunku), a ponieważ a nieujemne a b ujemne to moduł z lewej strony zdejmujemy bez zmiany znaku. Wyjdzie b≤0 co jest zawsze spełnione przy założeniu b<0 3 podobnie, tylko moduł z lewej strony zdejmujemy ze zmianą znaku.

Omikron: Ten trzeci warunek w tych przypadkach jest właśnie po to, żeby wiedzieć jak moduł z lewej strony zdjąć.

5-latek: dziekuje CI bardzo

Omikron:

eldo: 2. korzystając ze wskazówki −|x| ≤ x ≤ |x|, możemy zapisać −|a| ≤ a ≤ |a| oraz −|b| ≤ b ≤ |b|. dodajmy do siebie stronami te nierówności. mamy wtedy: −(|a|+|b|) ≤ a + b ≤ |a| + |b| I to jest już właściwie to co chcieliśmy, bo zauważmy że ogólnie z własności wartości bezwzględnej mamy: |x| ≤ y ⇔ −y ≤ x ≤ y więc −(|a|+|b|) ≤ a + b ≤ |a| + |b| ⇔ |a+b| ≤ |a| + |b| warto dodać, że nierówność ta ma swoją nazwę − nierówność trójkąta.

5-latek: dzieki

eldo: