calki calka:

	x' y'		β α α β	x y
Rozwazmy nastepujacy układ równan rózniczkowych		=			.

1. sformułowac twierdzenie Lapunowa o asymptotycznej stabilnosci oraz zastosowac je do powyzszego przykładu Twierdzenie Lapunowa o asymptotycznej stabilnosci: Rozwiazanie x₀ jest asymptotycznie stabilne dla rownania x'=f(x) jesli wartosci wlasne macierzy f'(x₀) maja ujemne czesci rzeczywiste. Gdy ktoras z wartosci wlasnych macierzy f'(x₀) ma dodatnia czesc rzeczywista to x₀ jest niestabilne (w sensie Lapunowa). Wydaje mi sie, ze to jest tw. Lapunowa prawda? Jak je tu zastosowac? Czym jest f(x)? 2. zbadac stabilnosc dla α=β=−1 korzystajac z funkcji Lapunowa. Funkcja Lapunowa: Funkcja Lapunowa dla rownania x'=f(x) nazywamy funkcje V spelniajaca warunki: 1) V(x)≥0 2) V (x) = 0 wtedy i tylko wtedy gdy x = 0; 3) ∇V◯f≤0.

x' y'		−1 −1 −1 −1	x y		−x −y −x −y
	=			=		, czyli uklad rownan

⎧	x'=−x−y
⎩	y'=−x−y

Czym jest tutaj f(x)? Jak skorzystac z tej funkcji Lapunowa?

calka: ?

g: Mamy tu do czynienia z dwoma rodzajami funkcjami. Po pierwsze same x i y są funkcjami, ogólnie nie wiadomo czego, załóżmy że czasu − x(t), y(t). Po drugie zakłada się, że pochodne dx/dt i dy/dt są funkcjami samych x i y. Nie jest to uniwersalną własnością, np. funkcje x(t),y(t) opisujące stan układu dynamicznego mają tę własność. Zapis (x'; y')^T = A*(x; y)^T oznacza liniową funkcję f(). Funkcję Lapunowa trzeba sobie wymyślić. Jeśli znajdzie się taką, która spełnia wymienione warunki, to dopiero można stwierdzić stabilność. Niemożność znalezienia takiej funkcji niestety o niczym nie przesądza. Dla wprawki rozpatrz funkcję V = x²+y².

calka: A w 1. jak zastosowac to twierdzenie?

calka: ?

calka: ?