Probal Benny: Rzucamy nieskończenie wiele razy czterema monetami. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wynik "trzy orły i jedna reszka" wypadnie wcześniej niż wynik "cztery orły". Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wynik "cztery orły" wypadnie tylko raz, w drugim rzucie?

g: 1. P31 = P[Z31] = 4/16, P40 = P[Z40] = 1/16 szukane pr. to P = P[Z31 | (Z31⋁ Z40)] = P31 / (P31+P40) = 4/5 2. P = P[¬(Z31 ⋁ Z40)] * P40 = (1 − 5/16) * (1/16) = 11/256

Benny: Można tak po skrótowo co czym jest?

g: Z31 − zdarzenie że wypadną 3 orły i 1 reszka Z40 − zdarzenie że wypadną 4 orły W punkcie pierwszym nie zajmuję się zdarzeniami że ani Z31 ani Z40 − takie zdarzenia są nieistotne. W drugim punkcie muszę założyć, że pierwszy wynik to ¬(Z31 ⋁ Z40), bo inaczej nie było by drugiego rzutu.

Benny: Tylko dlaczego takie wyniki?

g: Który Ci się nie podoba?

Benny: Nie wiem jak to obliczyłeś. Co do drugiego to wydaje mi się że nie ma takiego zdarzenia, aby wystąpiło ono tylko raz skoro rzucamy nieskończenie wiele razy.

Pytający: 1. Można też policzyć w ten sposób (acz sposób g wydaje się prostszy): A − wynik "trzy orły i jedna reszka" wypadnie wcześniej niż wynik "cztery orły"

	1		11		1		11		1		4
P(A)=		+		*		+(		)2*		+...=
	4		16		4		16		4		5

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F4*(sum+from+k%3D0+to+inf+of+(11%2F16)%5Ek) Albo w pierwszym rzucie wyrzucisz 3 orły (p=1/4), albo w pierwszym rzucie nie wyrzucisz 3 lub 4 orłów (p=11/16) i w drugim wyrzucisz 3 orły, albo w dwóch pierwszych rzutach nie wyrzucisz 3 lub 4 orłów i w trzecim wyrzucisz 3 orły, itd. 2. B − wynik "cztery orły" wypadnie tylko raz, w drugim rzucie n − liczba rzutów (≥2)

	15		1		15
P(B)=		*		*(		)n−2=0, bo n→∞
	16		16		16

Benny:

	1		11
Skąd to prawdopodobieństwo		oraz		?
	4		16

Adamm: A − dokładnie 3 orły

	4 3
|A|=		=4

wybieramy z 4 rzutów które mają być reszkami Ω − 4 rzuty |Ω|=2⁴=16

	1
P(A)=
	4

Adamm: B − 4 orły szukamy prawd. P(A'∩B')=1−P(A∪B)=1−P(A)−P(B)

	4 1		1
P(B)=		=
	16		16

	11
P(A'∩B')=
	16

Benny: