Aaaa Aaa: Uzasadnij że wielomian w(x)=x⁵+4x⁴+3x³+2x²+x+3¹²⁰ niema pierwiastków wymiernych

Aaa: prosze o pomoc wiem ze pierwastkami wymiernymi musialyby byc potegi 3 ale co dalej

Adamm: nie ma oczywiście pierwiastków dodatnich w'(x)=5x⁴+16x³+9x²+4x+1 w''(x)=20x³+48x²+18x+4=2(x+2)(10x²+4x+1) w''(x)>0 dla x>−2 oraz w''(x)<0 dla x<−2 w'(−2)=−19 i oczywiście lim_x→±∞w'(x) = ∞ w'(x) ma zatem 2 pierwiastki rzeczywiste, i oczywiście zmienia przy nich znak w(−2)>0 więc funkcja w(x) musi mieć tylko jeden pierwiastek dla x<−2, dla którego oczywiście zmienia znak dla x>−2 sprawdzamy w(−1)≠0 w(−3²⁵)<0 ale w(−3²⁴)>0 więc funkcja nie może mieć pierwiastków wymiernych jak ktoś ma lepszy pomysł, proszę bardzo

Mariusz: Pochodną można całkiem nieźle rozłożyć na czynniki 5x⁴+16x³+9x²+4x+1=0 25x⁴+80x³+45x²+20x+5=0 (25x⁴+80x³)−(−45x²−20x−5)=0 (25x⁴+80x³+64x²)−(19x²−20x−5)=0 (5x²+8x)²−(19x²−20x−5)=0

	y		y2
(5x2+8x+		)2−((5y+19)x2+(8y−20)x+		−5)=0
	2		4

Δ=0

	y2
4(		−5)(5y+19)−(8y−20)2=0
	4

(y²−20)(5y+19)−(8y−20)²=0 5y³+19y²−100y−380−(64y²−320y+400)=0 5y³−45y²+220y−780=0 y³−9y²+44y−156=0 y=6 216−324+264−156=480−480=0 (5x²+8x+3)²−(49x²+28x+4)=0 (5x²+8x+3)²−(7x+2)²=0 ((5x²+8x+3)−(7x+2))((5x²+8x+3)+(7x+2))=0 (5x²+x+1)(5x²+15x+5)=0 (5x²+x+1)(x²+3x+1)=0

Rafal: Bez użycia pochodnych: Załóżmy, że x = −3^k, gdzie k∊N i k ≤ 120, jest pierwiastkiem tego wielomianu. Podstawiając do równości w(x)=0 i dzieląc stronami przez 3^k, otrzymujemy sprzeczność, patrząc na podzielność obu stron przez 3.