Matura
Max: Dana jest funkcja f(x)=(x+2)2(x+6)3, wyznacz liczbę rozwiązań równania f(x)=98.
Jakies wskazowki?
26 kwi 21:08
Adamm: wystarczy policzyć pochodną
26 kwi 21:11
Max: Tak tez pomyslalem, ale podobno jest to zadanie na poziomie podstawowym. Zapomnialem napisac
26 kwi 21:14
Powracający: Ze tak zapytam
A na podstawie sa wzory skroconego mnozenia ?
Jesli tak to zastosuj
26 kwi 21:16
Adamm: na podstawie też można policzyć pochodną
26 kwi 21:17
Max: (x2+4x+4)(x3+18x2+108x+216)=98 i niestety nic z tego nie widzę
26 kwi 21:27
Adamm: nie dziwie się
policz pochodną, tak nic nie zrobisz
26 kwi 21:28
Max: Pochodną już rozwiązałem, istnieje tylko jedno rozwiązanie tego równania
26 kwi 21:30
magda: jak przy pomocy pochodnej można to obliczyć? nie rozumiem...
26 kwi 21:32
Max: Ale jeśli mam dobre informacje, to da się to zadanie rozwiązać bez liczenia pochodnej i
ekstremów, choć zaznaczam, że nie są to sprawdzone informacje
26 kwi 21:32
Max: Znajdziesz ekstrema funkcji (x+2)2*(x+6)3 i dowiesz się, gdzie ta funkcja przyjmuje
największą wartość (będzie to nieskończoność w granicy x dążącego do nieskończoności. Z
własności ciągłości funkcji wielomianowej będzie istniało co najmniej jedno rozwiązanie
26 kwi 21:35
Max: Nie wyjaśniłem dokładnie więc się nie czepiajcie, ale jak się znajdzie ekstrema w ich miejscach
największą wartość, to nie wyjdzie ona 98, więc będzie tylko jedna, dla x>−2
26 kwi 21:37
Tadeusz:
Popatrz na to inaczej
![emotka](emots/1/wesoly.gif)
Narysuj "falkę" ... nie pytają w treści o rozwiązanie .... a o ilość rozwiązań
26 kwi 21:37
Max: Tak, wiem... ale żeby uzasadnić, że dla x∊(−6,−2) nie ma rozwiązania f(x)=98, to trzeba znaleźć
ekstremum i policzyć wartość w tym punkcie.
W dalszym ciągu rysowanie wykresu funkcji wielomianowej jest na poziomie rozszerzonym.
26 kwi 21:40
Max: Poza tym, żeby rozwiązać to zadanie, trzeba chyba skorzystać z własności funkcji ciągłej. Czy w
tej nowej podstawie programowej jest ciągłość funkcji? I granice funkcji tylko w punkcie czy w
nieskończonościach także?
26 kwi 21:44
Adamm: wszystko o czym mówisz jest na rozszerzeniu
(na podstawę trochę za dużo)
26 kwi 21:45
Max: Adamm, wiem, że nie ma tego na podstawie, chcę się tylko upewnić czy jest na rozszerzeniu, bo
gdyby nie było ciągłości funkcji, to takiego zadania nie mogłoby być nawet na maturze
rozszerzonej
26 kwi 21:53
Adamm: ok, chciałem jedynie oddzielić podstawę w sensie poziom podstawowy od podstawy
w sensie podstawa programowa, bo to co innego
26 kwi 21:58
piotr: f[x] = (x + 2)2 (x + 6)3
g[x] = f[x] − 98
g'[x] = 3 (2 + x)2 (6 + x)2 + 2 (2 + x) (6 + x)3
g'[x] =0 ⇒ x ∊{−6, −6, −18/5, −2}
g[{−6, −6, −18/5, −2}] = {−98, −98, −(195658/3125), −98}
⇒
wniosek: równanie f[x] − 98 = 0 ma jednorozwiązanie
26 kwi 21:58
Max: Och, no tak, Adamm, gra słów
![emotka](emots/1/mruga.gif)
Piotr, liczby {−6, −18/5, −2} to kandydaci na ekstrema, ale tylko w −18/5 i −2 pochodna zmienia
znak więc −18/5 to punkt, w którym funkcja przyjmuje maksimum lokalne wynosi ono w
przybliżeniu 35. Następnie funkcja znów rośnie x>−2. Granica przy x−−> nieskończoności wynosi
nieskończoność i z ciągłości tej funkcji wynika, że przyjmie ona wartość 98. Ale Twoje
rozwiązanie jest błędne. Obraz Twojej funkcji także jest błędnie wyznaczony.
Poza tym... powtarzam po raz kolejny, że szukam INNEGO sposobu niż liczenie pochodnej.
26 kwi 22:14
piotr: Max
sprawdziłem czy w punktach, w których może być ekstremum wartość funkcji g[x] jest mniejsza czy
większa od zera, a tym samym wartość funkcji f[x] mniejsza czy większa od 98. skoro wszystkie
są mniejsze od zrea a "Granica przy x−−> nieskończoności wynosi
nieskończoność" to mamy tylko jedno miejsce gdzie f(x)=98
26 kwi 22:24
piotr: Max, co to jest obraz funkcji?
26 kwi 22:32
Max: g[{−6, −6, −18/5, −2}] = {−98, −98, −(195658/3125), −98}
ta linijka to obraz funkcji na zbiorze czteroelementowym. Twój tok rozumowania jest chyba
dobry, ale zapis jest zły. Nie wiem w ogóle po co używasz nawiasów kwadratowych. I co na
oznaczać to po prawej stronie znaku "równa się" to już nie wiem.
26 kwi 22:55
Max: Zresztą nieważne. Powtarzam po raz kolejny, POTRAFIĘ rozwiązać to zadanie używając rachunku
różniczkowego i elementów analizy matematycznej. Szukam innego rozwiązania, o ile takowe
istnieje.
Jeszcze raz powtórzę, chcę znaleźć rozwiązanie tego zadania BEZ użycia pochodnych.
26 kwi 22:57
Max: Jeszcze jeszcze raz powtórzę, dla tych, co nie potrafią czytać ze zrozumieniem, bo pewnie
znajdą się co po niektórzy i zaraz znów będą mi mówić żeby policzyć pochodną.
Nie. Chcę. Pochodnych.
26 kwi 22:58
Max: Nie, dziękuję, nie chcę pochodnych.
26 kwi 23:01
Max: Na pewno.
26 kwi 23:15
Alky: Adamm póki jeszcze jesteś (ew ktoś inny jeśli byłby skłonny), wyjaśnisz +/− jak wygląda
rozwiązanie przy użyciu pochodnej, bo chyba nie do końca czaję.
Wyliczyłem pochodną z tej funkcji i otrzymałem f'(x)=5x4+88x3+552x2+1440x+1296
Max mówił, żeby liczyć ekstrema, ale z takiej postaci... No jeśli są całkowite to pewnie
bym prędzej czy później znalazł, ale nie uśmiecha mi sie takie szukanie. Coś nie rozumuje ?
Coś pominąłem ?
27 kwi 01:09
Alky: .
27 kwi 01:24
Adamm: f(x)=(x+2)2(x+6)3
f'(x)=2(x+2)(x+6)3+3(x+2)2(x+6)2=
=(x+2)(x+6)2(5x+18)
masz ekstremum dla x=−2 oraz x=−3,6
27 kwi 01:25
Adamm: polecam zapoznać się z pochodną funkcji złożonej
27 kwi 01:27
Alky: Damn.. Tak jasne. Ja głupi poleciałem sobie nie myśląc bezpośrednio ze wzoru na pochodną
iloczynu i cośsłabo wyglądało.
Pochodną funkcji złożonej umiem liczyć. Zawiodło myślenie. Zwalę na późną porę... czy coś tam
![](emots/2/jezyk1.gif)
Dzięki, proste zadanko.
27 kwi 01:30
Adamm: np. pochodnej z (x+2)200 raczej nie będziesz liczył na piechotę, prawda?
((x+2)200)'=200*(x+2)199*(x+2)'=200*(x+2)199
chodzi o to że możesz potraktować to jakbyś liczył pochodną z funkcji y200 ale
musisz potem przemnożyć razy pochodną z y po x (tutaj y=x+2; to tylko przykład)
27 kwi 01:31
Adamm: ok
27 kwi 01:31
Alky: Tutaj nawet chyba funkcja złożona nic nie ma do rzeczy, bo w obu przypadkach pochodna ta będzie
równa 1 wiec ..
27 kwi 01:32
Alky: Wiem wiem
![emotka](emots/1/wesoly.gif)
Już sobie odpuszczę matematyki na dziś. Dzięki i dobranoc.
27 kwi 01:34
Adamm: dlaczego nie?
nie mógłbyś z całą pewnością powiedzieć że pochodna z (x+2)200 to 200*(x+2)199
bez niej
27 kwi 01:34
Alky: No tak, ale już pomijając formalność i prawidłowy zapis jak to powinno wyglądać ( bo jak
najbardziej wiem, że pochodna złożona powinna się tam znaleść) to mając wyrażenie liniowe ze
współczynnikiem a=1 przy x zawsze dostaniemy pochodną równą 1, co od razu widać jak w tym
zadaniu, więc można już tego nie pisać ( zakładając że robięto dla siebie, bo norlamnie bym
pewnie napisał, żeby pokazać, że wiem o co chodzi)
27 kwi 01:37
Alky: Wybacz literówki. Jestem już lekko zmęczony
27 kwi 01:39
Alky: Swoją drogą przejżałem teraz jeszcze ten temat i zauważyłem, że rozwiązanie było juz podane ...
27 kwi 02:01
piotr: f(x)=(x+2)2(x+6)3 ma miejsca zerowe w −6 oraz w −2
limx→−∞f(x) = −∞
limx→+∞f(x) = +∞
więc należy zbadać przebieg f(x) w przedziale (−6; −2) i znaleźć liczbę M, która będzie ≥ od
każdej wartości f(x) w podanym przedziale
f(x)=g(x)h(x)k(x)
g(x) = (x+2)2
h(x) = (x+6)2
k(x) = x+6
Należy teraz zamienić funkcje składowe g(x), h(x), k(x) w funkcje schodkowe ograniczające z
góry funkcje g(x), h(x), k(x) o odpowiednio małych przedziałach (wystarczy przedział o
długości 1).
Mnożąc wartości tak dobranych funkcji schodkowych w każdym przedziale, otrzymamy liczby, z
których największa będzie M.
27 kwi 08:05
kochanus_niepospolitus:
chciałem pójść w sposób który pokazał piotr, jednak należy mieć na uwadze, że przedział
długości 1 nie daje nam 'pewności', że np. dla x=−3.5 funkcja nie 'wystrzeli' nagle w górę.
0) funkcja f(x) jest funkcją ciągłą.
1)
należy zauważyć, że dla x<−6 funkcja f(x) < 0 ... czyli brak rozwiązań f(x)=98
2)
należy zauważyć, że w przedziale x∊(−6,−2) funkcja g(x) = (x+2)2 jest funkcją malejącą podczas
gdy h(x) = (x+3)3 jest funkcją rosnącą
3)
należy zauważyć, że dla x>−2 funkcja f(x) > 0 (podczas gdy dla x=2 mamy f(x)=0) i lim{x−>∞)
f(x) = +∞, dodatkowo funkcja f(x) jest rosnąca (iloczyn dwóch funkcji rosnących jest funkcją
rosnącą), więc tutaj na pewno jest jedno rozwiązanie.
Tak więc, trzeba sprawdzić czy jakieś rozwiązanie mamy w przedziale x∊(−6,−2).
Robimy więc tak jak sugeruje piotr.
f(−6) = 0
f(−5) = 9
f(−4) = 32
f(−3) = 27
f(−2) = 0
i tutaj trza by było użyć stwierdzenia, że jako że funkcja f(x) = g(x)*h(x) jest iloczynem
dwóch funkcji (ciągłe ... malejącej i rosnącej na danym przedziale) to f(x) będzie posiadało
jedno ekstremum ... stąd wniosek, że jest ono w przedziale x∊(−4,−3)
f(−3.75) = 34,8838
f(−3.5) = 35.1563
f(−3.25) = 32.4951
więc ekstremum jest gdzieś w przedziale x∊(−3.75 , −3.5)
f(−3.625) = 35.3751
i by można było ZAŁOŻYĆ, że nigdzie w tym przedziale funkcja nie ma możliwości dobicia do
wartości 98 ... jednak nie jest to rozwiązanie stricto. Mamy tutaj nadal domysły.
Dopiero wyliczenie pochodnej i wartości ekstremum te domysły rozwieją.
27 kwi 09:23
kochanus_niepospolitus:
zresztą ... wystarczy że byłoby nie 98 a 35.5 w zadaniu ... i co wtedy?
27 kwi 09:25
27 kwi 10:22
Max: ?
30 kwi 00:54