matematykaszkolna.pl
Algebra Jak: wykaz ze jesli x y z sa dodtanie to zachodzi nierownosc xy+xz+yz≥x√yz+y√xz+z√xy
26 kwi 19:02
relaa:
 1 1 1 
Wykorzystaj 3 razy nierówność między średnimi AM ≥ GM dla liczb
,
,
.
 x y z 
26 kwi 19:22
Jak: no wlasnie probowalem ale cos chyba psulem moglabys mi to rozpisac
26 kwi 19:28
Adamm: z nierówności Schwarza x√yz+y√xz+z√xy≤√(x2+y2+z2)(xy+yz+xz) oraz xy+yz+xz≤√(x2+y2+z2)(x2+y2+z2)=x2+y2+z2 skąd x√yz+y√xz+z√xy≤xy+yz+xz
26 kwi 19:31
Adamm: pomyłka, z tego wcale to nie wynika z nierówności Schawrza x√yz+y√xz+z√xy≤√(xy+yz+zx)(xz+yx+zy)=xz+yx+zy
26 kwi 19:34
Adamm: Schwarza **
26 kwi 19:35
Adamm: i w dodatku możemy powiedzieć że równość zachodzi gdy dodatkowo równość zachodzi gdy xy=1, yz=1, zx=1
26 kwi 19:44
Adamm: x=y=z=1
26 kwi 19:45
relaa: Mógłbym.
1 1 
+
x y 
 1 1 
≥ (
•
)1/2
2 x y 
1 1 
+
y z 
 1 1 
≥ (
•
)1/2
2 y z 
1 1 
+
x z 
 1 1 
≥ (
•
)1/2
2 x z 
Sumując dostaniemy
1 1 1 xy + yz + xz 1 1 1 
+
+
=
≥
+
+
x y z xyz √xy √yz √xz 
xy + yz + xz ≥ x√yz + y√xz + z√xy.
26 kwi 19:53
Adamm: coś mi się pomyliło z tą równością
26 kwi 19:58
relaa: Po prostu x = y = z.
26 kwi 20:15
jc:
 x+y 
x,y,z ≥ 0,
≥ √xy
 2 
(x+y)z 
≥ z √xy
2 
podobnie
(y+z)x 
≥ x √yz
2 
(z+x)y 
≥ y √zx
2 
Dodajemy stronami i mamy dowodzoną nierówność.
26 kwi 20:21