g.: znajdź wartości a, dla których funkcje są ciągłe na prostej: f(x) { (x-1)³ dla x < 1 √x - a dla x ≥ 1 } całkowicie nie wiem jak się za to zabrać. proszę o pokazanie krok po kroku na czym to polega... wykalkulowałam tyle: przedziałami będzie (-∞, 1) (1, ∞) tak więc xo = 1 (dobrze?) tylko nie wiem co dalej... mam obliczyć granice obustronne? lim = (x-1)³ = ? x→1^- lim = (x-1)³ = ? x→1⁺

b.: no właśnie, wątpliwa jest tylko ciągłość w x₀=1 tak, policz granice obustronne z *f(x)* (nie z (x-1)³, jak liczysz), czyli lim_x->1^- f(x) = lim_x->1^- (x-1)³=... lim_x->1⁺ f(x) = lim_x->1⁺ √x-a=... i wartość f(1) = ... żeby funkcja była ciągła, te 3 wyrażenia powyżej muszą być równe --> stąd a=1

g.: czyli: lim x->1^- (x-1)³=... i jak to obliczyć? ... czyli liczę to pierwsze, ostatnie, a to środkowe z "a" wnioskuję na podstawie tych dwóch, tak?

b.: ...=(1-1)³=0 ostatnie też liczysz, i środkowe liczysz (jedno i drugie łatwo) policz może...

g.: opanowane. teraz mam coś takiego f(x) = { x²-9 ------- dla x ≠ -3 x+3 ( a² - 7 dla x = -3 czyli: x²-9 x²-9 - ------- dla x < -3 i ---------- dla x > -3 i a² -7 =-3 x+3 x+3 czyli przedziały to (-∞, -3) (-3, ∞) Xo = -3 f(-3) = - 3 lim 1⁺ x²-9 / x+3 ; (x+3)(x-3) / (x+3) = (x-3) = -3 - 3 = -6 - lim 1^- ( x²-9 / x+3) ; (x+3)(x-3) / (x+3) = 6 czy muszę liczyć a² - 7 = (-3)² - 7 = 2 ?

g.: tam lim ma być x-> -3⁺ i -3^- ?

g.: tfu czyli tutaj nie liczę już tego a² bo funkcja nie jest ciągła, tak? Bo granica prawostronna i lewostronna się nie równają?

b.: czekaj, czemu piszesz minus przed (x²-9)/(x+3) w przypadku x<-3? we wzorze jest jakiś moduł, którego nie przepisałaś? gdyby granice jednostronne wyszły -6 i 6, to nie musisz już liczyć f(-3), funkcja tak czy inaczej nie będzie ciągła ale, jak sądzę, granice wyjdą obie = -6 poza tym, f(-3) masz źle policzone: f(-3)=a²-7 nie wstawiasz za a liczby -3, a to jakiś parametr wydaje się, że masz kłopoty ze zrozumieniem definicji funkcji jw., znaczy takiej, że są różne postacie wzorów w różnych przypadkach

g.: jak patrzyłam na książkę Krysickiego to tam jest jakiś minus przed przykładem, w granicy lewostronnej... i jeżeli obie wyjdą -3 to f(-3) = a² - 7, czyli a musi wynosić 2. czyli to co napisałam jest źle?....

b.: masz źle przepisany przykład lub ten minus jest źle sprawdź przykład, jeśli treść jest ok (znaczy funkcja jw.), to nie powinno być minusa przed (x²-9)/(x+3) dla x<-3 w Krysickim patrzyłaś na taki sam przykład?

g.: nie tam x=1 czyli bez minusa ma być i podstawiam pod x=-3? eh... ja tego nie kumam, bo przecież te granice obustronne to nie tylko ten punkt końcowy ale wszystkie punkty, które dążą do tego punktu z prawej lub lewej strony. to dlaczego w tych granicach (-3)⁺, (-3)^- podstawiam -3?

g.: taki przykład: ( jak źle to ja chyba w siebie zwątpie) f(x) = 2x+ a dla x ≤ π/2 cos x dla x > π/2 Xo = π/2 2x + a dla x = π/2 2x + a dla x < π/2 cos x dla x > π/2 lim cos π/2 = 0 x→(π/2)⁺ lim 2x + a = 2* π/2 + a = 0, a = -π x→(π/2)⁺ lim 2x + a = 2x * π/2 + a = 0, a = -π x→π/2

b.: druga granica chyba lewostronna w trzecim miało może być f(π/2)? dalej nie wiadomo, skąd wzięłaś minus o tutaj na samym początku: x²-9 x²-9 - ------- dla x < -3 i ---------- dla x > -3 i a2 -7 =-3 x+3 x+3

g.: tak lewostronna, to z rozpędu... f (π/2) = 0 ? no bo tak robiłam według podobnego przykładu z Krysickiego i tam x → 1 no i przy granicy lewostronnej był minus... - lim (przykład) = rozwiązanie no i ten minus niby zmieniał znak ... x → 1^-

b.: no ale tu chyba nie ma minusa, zgadza się? może tam jakiś moduł był albo coś?

g.: no nie ma. i tam też nie było żadnego minusa może to jakiś błąd, nie wiem...

g.: f(x) = a + arctg x dla x < √3 log₃ x dla x ≥ √3 f (√3) = log₃ x = log₃ √3 = 1/2 lim → log₃ x = 1/2 x→√3⁺ lim → a + arctg x = a + arctg √3 = ? wiem, że tg √3 = π/3... x→√3^-

g.: arctg √3 = π/3. a = 1/2 - π/3 ?

b.: zgadza się