Dowód. Zdzisław: Ostatnio znalazłem na forum ( 278684 ) taki wzór na ilość liczb n−cyfrowych, których suma cyfr jest równa k. Wygląda on następująco:

n+k−2 k−1
	I zastanawia mnie, jak dojść do takiego wzoru. Ktoś ma jakieś pomysły?

Mila: Kombinacje z powtórzeniami. https://pl.wikipedia.org/wiki/Kombinacja_z_powt%C3%B3rzeniami

Zdzisław: Czyli gdybym na maturze miał tego typu zadanie, to mógłbym się powołać na tę zasadę liczenia? Czy musiałbym na piechotę?

Mila: Najpierw rozwiąż trochę zadań z zastosowaniem, w każdej szkole z rozszerzona matematyką stosuje się kombinacje z powtórzeniami, może nie uważałeś na lekcjach. Na forum dużo zadań rozwiązywaliśmy.

Zdzisław: Biorę się za robotę, dziękuje

Mila: Ile jest liczb 5− cyfrowych o sumie cyfr równej 4. Licz.

jc: Jakieś bajki. n=2, k=18, mamy tylko jedną taką liczbę 99.

n+k−2 k−1		18 17
	=		=18

Mila: Jc, piszesz o wzorze podanym w linku?

jc: Odnoszę się do pierwszego wpisu.

Zdzisław: 40 000 → 1

	4 1
31 000 − tutaj jedynkę możemy ustawić na 4 sposoby czyli		→ 4

	4 1
22 000 − jedną dwójkę ustawiamy na także 4 sposoby		→ 4

i Tu moje pytanie, nieważne którą dwójkę się przeniesie, suma cyfr bedzie taka sama czyli wynik to 4?

	4 1
13 000 − tutaj trójkę możemy ustawić na 4 sposoby czyli		→ 4

21 100 − nie wiem 11 110 − zero ustawiamy na 4 sposoby (poza pierwszym miejscem) → 4 Czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć jak sie za to zabrać? Staram się zrozumieć kombinatorykę ale coś mi nie wychodzi

Mila: Liczymy na piechotę: 1) 4=4+0+0+0+0 jedna liczba 2) 4=1+1+1+1+0

	4 1
1||1110 −		=4

3) 4=2+1+1+0+0

	4 2
2||1100		=6

lub

	4 2
1||2100		*2=12 liczb

4) 4=3+1+0+0+0

	4 1
3||1000		=4

	4 1
lub 1||3000		=4

5) 4=2+2+0...

	4 1
2||2000		=4

=========== Razem 1+4+6+12+4+4+4=35 =================== Teraz zastosujemy wzór na kombinacje z powtórzeniami: Mamy ustalić ile rozwiązań ma równanie poniżej w zbiorze N, przy czym x₁ nie może przyjąć wartości 0. x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=4 x₁+1+x₂+x₃+x₄+x₅=4 , x₁≥1 zatem szukamy ile jest rozwiązań równania: x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=3 w zbiorze N, przy czym x_i ∊ zbioru cyfr Liczba rozwiązań:

3+5−1 5−1		7 4
	=		=35

Pan JC zwrócił uwagę, że nie napisałeś jakie ograniczenia ma liczba k. Jeżeli suma cyfr większa od 9 to sprawa się komplikuje.

Zdzisław: A co jeśli spotkamy się z n−cyfrową liczbą o iloczynie równym k?

Kacper: Najprościej na piechotę