Indukcja matematyczna - dowód Emilka: Proszę bardzo o pomoc, mam ogromny problem z udowodnieniem przy użyciu indukcji. n−1 a₁=1 a_n=∑ a_i dla n>1 i=1 Udowodnij że a_n=2ⁿ⁻¹

Adamm: bo to nieprawda, błąd w zadaniu lub źle przepisałaś

Emillka: Racja, powinno być 1+ przed znakiem sumy

Adamm: dla n=1 jest oczywiste założenie: a_k=2^k−1 dla 1≤k≤n dowód a_n+1=1+∑_i=1ⁿa_i=... dalej ty użyj wzoru na sumę ciągu geometrycznego

Emillka: Czemu akurat geometrycznego? Możesz wytłumaczyć coś więcej?

Adamm: bo ciąg a_n jest geometryczny, oczywiście

Emillka: Skąd mam wiedzieć co podstawić za q − iloraz ciągu?

Adamm: policz iloraz, to iloraz kolejnych wyrazów a_n+1/a_n

Adamm: jak nazwa zresztą wskazuje

Emillka: A można to udowodnić w jakiś inny sposób nie korzystając z tego że to ciąg geometryczny?

Adamm: a w czym ci ciąg geometryczny przeszkadza?

jc: a₁=1 a_n = 1+a₁+a₂+...+a_n−1 −−− a₁=1=2⁰ Jeśli a_n = 1+a₁+a₂+...+a_n−1=2ⁿ⁻¹ to a_n+1=1+a₁+a₂+...+a_n−1+a_n = 2ⁿ⁻¹ + 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ Dlatego dla każdego n a_n =2ⁿ⁻¹

Emillka: Korzystając z wzoru na sumę wychodzi mi (1−1/2ⁿ)/(1/2) czyli do 2ⁿ⁻¹ trochę daleko

jc: Nie korzystaj ze wzoru (nie trzeba), tym bardziej, że źle korzystasz.

Adamm:

1−2n
	=2n−1
1−2

tak to powinno wyglądać

jc: Adamm, prościej bez wzoru (23:11).

Adamm: jc, ok widziałem, faktycznie jest szybciej chciałem tylko pokazać jej jak jest poprawnie