Sprawdź czy zbiór jest grupą przemienną Zeto: Sprawdź czy zbiór liczb ℚ+ z działaniem a*b=5ab jest grupą przemienną(abelową). Bardzo proszę o wytłumaczenie krok po kroku tego zadania. Z góry dziękuje.

Jack: Nie jest ze wzgledu na element odwrotny. Poniewaz: element neutralny : e*a = a 5ea=a a(5e−1)=0 a=0 v e=1/5 Zatem element neutralny to 1/5 Teraz z definicji elementu odwrotnego: a*a⁻¹ = e

	1
5aa−1 =
	5

	1
aa−1 =
	25

	1
a−1 =
	25a

Dla a=0 (co wyszlo juz w neutralnym ale dopiero w odwrotnym mamy dzielenie przez zero) Zatem nie jest. Prawdopodobnie byloby grupa bez elementu 0

Jack: A nie chwila... Nie zauważyłem, ze Q+ czyli dodatnie... No to pewnie jest grupa abelowa.

Jack: Na samym starcie badamy wewnętrzność. No ale wystarczy komentarz że działanie mnożenia jest wewnętrzne w zbiorze liczb wymiernych. A nastepnie badamy: 1) czy dzialanie jest łączne 2) posiada element neutralny 3)posiada element odwrotny (zauwaz ze punkty 2 i 3 juz zrobilem w poprzednim poscie) 4) przemiennosc tzn. czy a*b = b*a No to rozpisze Ci 4) L = a*b = 5ab P = b*a = 5ba = 5ab L=P (koniec dowodu dla 4))

Jack: Zatem jedynie co Ci zostalo to czy jest łączne czyli : Badamy czy (a*b)*c = a*(b*c) No to L =... P =... I wychodzi ze jest grupa (ponadto spelbia pubkt 4) czyli jest abelowa)

Zeto: Mógłby ktoś jeszcze rozpisać dokładnie jak sprawdzić łączność i element neutralny? z góry dziekuje

Jack: ? Przeciez Ci napisalem co robic. Dasz rade sprawdze czy dobrze

Jack: Element neutralny: e*a = a 5ea = a 5ea − a = 0 a(5e −1) = 0 a = 0 (na to nie zwracamy uwagi) Lub

	1
5e−1=0 −−−> 5e = 1 −−−> e =
	5

	1
Zatem element neutralny istnieje : e =
	5

Łączność : (a*b)*c = a*(b*c) L = (a*b)*c = (5ab)*c = 25abc P = a*(b*c) = a*(5bc) = 5a5bc = 25abc L = P Dzialanie jest laczne.