Rozkład dyskretnych zmiennych Andrzej: Łączny rozkład dyskretnych zmiennych losowych X i Y określa wzór pX,Y (x, y) = (k(2x + y) dla x = 1, 2 oraz y = 1, 2 (0 w przeciwnym razie, gdzie: k – stała. (a) Obliczyć wartość k. (b) Znaleźć rozkłady brzegowe X i Y . (c) Czy zmienne X i Y są niezależne? (d) Znaleźć rozkłady warunkowe pY |X(y | x) oraz pX|Y (x | y) Ktokolwiek wie jak się za to zabrać, albo nakierować?

Pytający: (a) Suma prawdopodobieństw jest równa 1, więc: p(1,1)+p(1,2)+p(2,1)+p(2,2)=1 k(2+1)+k(2+2)+k(4+1)+k(4+2)=1 18k=1

	1
k=
	18

(b) Sumujesz prawdopodobieństwa z odpowiednimi wartościami x lub y:

	7
pX(1)=p(1,1)+p(1,2)=
	18

	11
pX(2)=p(2,1)+p(2,2)=
	18

	7
pX(x)=		dla x=1
	18

	11
		dla x=2
	18

0 w przeciwnym razie

	8
pY(1)=p(1,1)+p(2,1)=
	18

	10
pY(1)=p(1,2)+p(2,2)=
	18

	4
pY(y)=		dla y=1
	9

	5
		dla y=2
	9

0 w przeciwnym razie (c) X i Y są niezależne, jeśli dla dowolnych x, y zachodzi p(x,y)=p_X(x)*p_Y(y)

	3
p(1,1)=
	18

	7		4		14
pX(1)*pY(1)=		*		=
	18		9		81

p(1,1)≠p_X(1)*p_Y(1) ⇒ X, Y zależne (d) http://edu.pjwstk.edu.pl/wyklady/sad/scb/index48.html

	p(1,1)		3   18		3
pX|Y(1|1)=		=		=
	pY(1)		8   18		8

	p(2,1)		5   18		5
pX|Y(2|1)=		=		=
	pY(1)		8   18		8

	p(1,2)		4   18		2
pX|Y(1|2)=		=		=
	pY(2)		10   18		5

	p(2,2)		6   18		3
pX|Y(2|2)=		=		=
	pY(2)		10   18		5

	p(1,1)		3   18		3
pY|X(1|1)=		=		=
	pX(1)		7   18		7

	p(1,2)		4   18		4
pY|X(2|1)=		=		=
	pX(1)		7   18		7

	p(2,1)		5   18		5
pY|X(1|2)=		=		=
	pX(2)		11   18		11

	p(2,2)		6   18		6
pY|X(2|2)=		=		=
	pX(2)		11   18		11