Wyznacz współczynniki A i B w definicji rekurencyjnej ciągu franek: Wyznacz współczynniki A i B w definicji rekurencyjnej ciągu, którego wzór jawny ma postać. (skorzystaj z metody z wielomianem charakterystycznym).

⎧	a0 = 1, a1=3
⎩	an=Aan−1 +Ban−2

Adamm: którego wzór jawny ma postać aha

franek: którego wzór jawny ma postać a_n = 3ⁿ

Mila: Rozwiązanie równania charakterystycznego ma być równe : 3, 0 albo 3,3

jc: a_n = 3a_n−1, czyli B=0, A=3.

Krzysiek: xd

Adamm: albo może być A=0 oraz B=9

jc: Faktycznie

Adamm: 9=3A+B albo dowolne liczby spełniające to rownanie

franek: 3ⁿ=Cx₁ⁿ+Dx₂ⁿ Na oko się zgadza, ale czy jest jakieś twierdzenie które potwierdzi, że są tylko te rozwiązania?

jc: (uzasadnienie uwagi Adamma) Jeśli 9 = 3A + B, to a_n+2 = A 3ⁿ⁺¹ + B 3ⁿ = (3A +B)3ⁿ = 9* 3ⁿ = 3ⁿ⁺¹. Nie więcej oczywiście być nie może (to relacja pomiędzy a₀, a₁, a₂).

Adamm: a_n=3ⁿ ∧ a_n=Aa_n−1+Ba_n−2 ⇒ 9=3A+B musi być jedyne, bo wynika z poprzednio wiadomych wlasności

franek: Chyba się trochę zgubiłem. Polecenie zadania mówi, że należy dojść do tego rozwiązania używając wielomianu charakterystycznego (x²=Ax+B). Twierdzenie o pierwiastkach równania charakterystycznego mówi, że a_n=Cx₁ⁿ+Dx₂ⁿ, gdzie x₁ i x₂ to pierwiastki wielomianu charakterystycznego. W naszym przypadku jest to 3ⁿ=Cx₁ⁿ+Dx₂ⁿ i z tego wynika, że x₁=3, x₂=3 lub x₁=3, x₂ = 0. Mając pierwiastki, można obliczyć A i B: dla x₁=3, x₂=3: A=6, B=−9 dla x₁=3, x₂=0: A=3, B=0 Ale nie są to wszystkie A i B. Jak dojść do tego, że 9=3A+B używając metody z wielomianem charakterystycznym.

franek: Ktoś wie jak to zrobić?

Adamm: z 3ⁿ=Cx₁ⁿ+Dx₂ⁿ nie wynika x₁=3, x₂=3 lub x₁=3, x₂=0 tutaj masz swój błąd

Adamm: jednym z pierwiastków jest 3, i to wszystko co z tego wiesz

Mila: Spróbuj ustalić jakie będą A i B, gdy jeden pierwiastek r. ch. jest równy 3 a drugi jego wielokrotnością 1) x₁=3 natomiast x₂=3k, gdzie k∊N x²−Ax−B=(x−3)*(x−3k) po wymnożeniu z prawej: 2) A=3+3k,B=−9k k=0 A=3 B=0 k=1 A=6 B=−9 k=2 A=9 B=−18 spr. 3ⁿ=^?9*3ⁿ⁻¹−18*3ⁿ⁻²=3*3ⁿ−2*3ⁿ=3ⁿ=L itd.

franek: Skąd wiadomo że jeden pierwiastek musi być równy 3 a drugi musi być jego wielokrotnością?

rafał: Ponawiam pytanie.

Adamm: drugi pierwiastek nie musi być jego wielokrotnością

rafał: Ok, czyli po prostu jeden pierwiastek jest równy 3 a drugi jest równy k. x²−Ax−B=(x−3)(x−k) A=k+3 B=−3k i z tego wynika 9=3A+B dziękuje