P.geo Benny: Na odcinku [0,1] umieszczono losowo punkty A₁, A₂, A₃. Jaka jest szansa, że A₁≤A₂≤A₃? Bez liczenia widać, że to będzie 1/6, ale jak to policzyć geometrycznie?

jc: P = (objętość bryły 0 ≤ x ≤ y ≤ x ≤ 1) / (objętość sześcianu o boku 1).

Benny: No właśnie mam problem z opisaniem tej bryły

Adamm: x≤y≤x

Benny: x≤y≤z

Adamm: y≤z≤1 x≤y≤1 0≤x≤1 ∫₀¹∫_x¹∫_y¹dzdydx=∫₀¹∫_x¹1−ydydx=∫₀¹1−x−(1/2−x²/2)dx= =1/6 chyba się nie mylę?

jc: Cóż, powiedziałbym, że objętość bryły wynosi 1/6 bo takie jest prawdopodobieństwo. Bryła to czworościan o wierzchołkach (0,0,0), (0,0,1), (0,1,1), (1,1,1).

Adamm: sympleks

Benny: Teraz się zgadza

jc: Tak właśnie A może tak (x,y,z) →(x,z,y) itd. Mamy w sumie 6 podobnych funkcji. Każda jest izometrią i zachowuje objętość. Sześcian jest sumą 6 rozłącznych obrazów naszej bryły (wiem, obrazy mają wspólne ściany, ale ściany nie mają objętości. Dlatego nasza bryła ma objętość 1/6.