wykaż ze . Zadanie zwiazane z średnią kwadratową i średnią arytmetyczną aceton: Hej, prosze o pomoc Jeżeli x+y+z=a to wykaż , że x²+y²+z²≥^a3₃ jeżeli rozwiąże to do postaci √^x2+y2+z2₃≥^x+y+z₃ i napisze , ze średnia kwadratowa jest zawsze większa lub równa średniej arytmetycznej to czy to wystarczy? czy muszę udowodnić TW o tych średnich ? a jeśli tak , to jak ? Za wszelką pomoc dzięki.

Krzysiek: nie musisz

Adamm: wiesz, nie chce mi się jeszcze raz zarzucać ścianą tekstu, ale mam nadzieję że Alky ci to wyjaśni

jc: Co stoi po prawej stronie nierówności?

Adamm: z nierówności Jensena

x2+y2+z2		x+y+z
	≥(		)2
3		3

jc: Czyli znów wypukłość

aceton: Nierówności jensena i wypukłości nie naucza sie w liceum, nie ?

Adamm: to znaczy że trzeba być ograniczonym na umyśle? bo szkoła nie oferuje? co za głupota tak poza tym, ograniczonym na umyśle≠idiotą

aceton: Podsumowując, pisząc komentarz dla egzaminoatora o zależnościach między śr. lub o nierówności jensena wystarczyłoby?

Adamm: ah, myślałem przez chwilę że nie jesteś autorem postu, przepraszam źle ułożyłeś pytanie mówisz o maturze? powołać się wystarczy

Adamm: z tego co mi wiadomo wszystkie znane twierdzenia obowiązują na maturze, ale trzeba się na nie powołać, to jest, powiedzieć z jakiego twierdzenia to bierzesz

Adamm: to że nie ma ich w programie to druga sprawa

Mila:

	a2
Chyba ma być : x2+y2+z2≥		?
	3

aceton: Jeszcze jedno pytanie , czy to z TW jensena pochodzi zależnośc między śr. ? Czy to po prost się pokrywa

Adamm: tw. Jensena jest ogólniejsze

jc: Znając pojęcie wypukłości inaczej widzę pewne rzeczy. Nie muszę muszę nawet wspominać, że mam do czynienia z funkcją wypukłą, po prostu mam podpowiedź.

aceton: Mila tak

Adamm: https://pl.wikipedia.org/wiki/Nier%C3%B3wno%C5%9B%C4%87_Jensena nierówność Jensena to wypukłość uogólniona na dowolną liczbę zmiennych

jc: Tak, z wypukłości logarytmu wynika nierówność między średnimi

	x+y		ln x + ln y
ln		≥		, x,y > 0
	2		2

a nierówność Jensena daje nierówność dla wielu składników, np. dla trzech.

	x+y+z		ln x + ln y + ln z
ln		≥		, x,y,z > 0
	2		3

Adamm: a raczej, nierówność towarzysząca wypukłości

jc: (x+y+z)² ≤ (x+y+z)³ + (x−y)² + (y−z)² + (z−x)² = 3(x²+y²+z²)

	x+y+z		x2+y2+z2
(		)2 ≤
	3		3

Mila:

	a2
Wykaż, że jeżeli x+y+z=a to x2+y2+z2≥
	3

1) 0≤(x−y)²⇔2xy≤x²+y² 2) x+y+z=a /² a²=x²+y²+z²+2xy+2xz+2zy≤x²+y²+z²+(x²+y²)+(x²+z²)+(y²+z²)= =3x²+3y²+3z²⇔ a²≤3(x²+y²+z²) /:3

a2
	≤x2+y2+z2
3

cnw ===========

jc: Adamm, nierówność Jensena pozwala udowodnić wypukłość funkcji ciągłej środkowo wypukłej.

Adamm: funkcja ciągła środkowo wypukła? nie znam

jc: Funkcja, która spełnia nierówność

	x+y		f(x) + f(y)
f(		) ≤
	2		2

Adamm: ciągła, rozumiem nie rozumiem co znaczy że funkcja jest środkowo wypukła

Adamm: ah, już rozumiem

aceton: Mila dzięki za konkrety

Mila: