Ekstremum funkcji dwóch zmiennych Hubert: Witam. Proszę o pomoc w policzeniu ekstremum funkcji: f(x,y)=x²+4y² Obliczyłem pochodne: f'x = 2x f'y = 4y³ więc badam w punkcie (0,0). Ale wyznacznik macierzy wyszedł mi 0, a wydaje mi się że powinno być tam ekstremum, tylko nie wiem jak je udowodnić.

Hubert: Nie jestem pewien ale czy wystarczy napisać że funkcja ta przyjmuje wartości nie ujemne, a 0 tylko w punkcie (0,0) w związku z czym jest to jej ekstremum (minimum).

jc: Jak liczyłeś pochodną względem y?

Hubert: f'y =4y³

jc: f=x²+y⁴ ?

Hubert: tak

Hubert: Teraz nie wiem czy zrobiłem jakiś głupi błąd proszę nie trzymaj mnie w niepewności

jc: Pomyśl, jak wygląda wykres. Masz rację mamy jedno ekstremum lokalne i jest to minimum w punkcie (0,0) i prawidłowo tłumaczysz ten fakt. Wyznacznik równy zero nie przeczy istnieniu ekstremum, co pokazuje rozważany przykład. Rozumiem, że w treści zadania zamiast f=x²+y⁴ wpisałeś f=x²+4y².

Hubert: Tak przepraszam. A co gdyby nie było tam ekstremum jak np. w funkcji x⁴−y⁴ albo x²+y³.

Hubert: To może napiszę co myślę, a Ty jakbyś mógł to sprawdzić i napisać czy mam dobrze czy nie. Ja sprawdzę to jeszcze rano. Przykład: x⁴−y⁴ oczywiście nie ma tam ekstremum, dlatego wyznaczyłem 2 ciągi: a_n = (0,1/n), b_n = (−1/n,0), i policzłem ich granice przy n−>∞ obydwie dążą do punktu (0,0) ale f(a_n)<0, a f(b_n)>0. I teraz nie jestem pewien czy to coś jest wystarczające. Wielkie dzięki za pomoc.

jc: Może lepiej tak. Jak odsuwamy się zmieniając x, to f rośnie. Kiedy zmieniamy y, f maleje.