Zamiania wielomianu czwartego stopnia, na kwadrat wielomianu drugiego stopnia tyokke: Tak jak na górze, jest jakiś szybki prosty sposób na to? Przykładowo coś takiego x⁴−6x³+11x²−6x+1

Adamm: x⁴−6x³+11x²−6x+1=0 zauważ że jest to wielomian symetryczny x≠0 więc możemy podzielić przez x²

	1		6
x2+		−6x−		+11=0
	x2		x

	1		1
zauważmy że (x+		)2=x2+		+2
	x		x2

	1
niech t=x+
	x

t²−6t+9=0 (t−3)²=0

	1
x+		=3
	x

x²−3x+1=0 Δ=5

	3±√5
x=
	2

Adamm:

	1
przy podstawieniu t=x+		można byłoby jeszcze założyć że x∊(−∞;−2>∪<2;∞)
	x

jak to w zwyczaju mają moi forumowi koledzy, ale to i tak wszystko wychodzi ostatecznie

tyokke: chodziło mi bardziej o coś takiego, że gdy mamy przykładowo ten wielomian który podałem, to czy w ogóle jest jakiś sposób żeby przejść szybko do (x²+abx+1)², ale pomogło to też, dzięki

zef: Adamm jak takie coś dostrzec ? Bo widzę że ciekawy sposób i zaoszczędzi dużo czasu

Adamm: to po prostu uniwersalny sposób radzenia sobie z wielomianami symetrycznymi

zef: Wielomiany symetryczne ? Gdzie o tym można poczytać w zrozumiałym języku ? Chyba że sam możesz to po krótce wyjaśnić

Adamm: tzn. nie symetrycznymi (wielomian symetryczny to co innego) po prostu współczynniki są symetryczne

karty do gry : "równanie zwrotne" Wystarczy wpisać powyższą frazę w googlach.

zef: Dzieki

jc: Jak wiesz, że masz kwadrat, to łatwo. Jeśli Twoje wyrażenie to kwadrat, to musi to być (x²−3x+1)².

Adamm: jeśli mamy wielomian taki jak wyżej, którego współczynniki są symetryczne to możemy sprowadzić go do wielomianu stopnia o połowę niższego tym sposobem jeśli wielomian jest nieparzysty to dzielimy go przez x−1 i znowu mamy wielomian którego współczynniki są symetryczne np. x⁶−x⁵+83x⁴+3x³+83x²−x+1=0 można sprowadzić do wielomianu stopnia 3

tyokke: Mi to najbardziej chodziło o sposoby do dowodów na mature, bo ostatnio często się spotykam z takimi zadaniami że trzeba udowodnić jakiś wielomian 4−tego stopnia jest powiedzmy ≥0 i do tego najlepiej tak składać te wielomiany w kwadraty

Adamm: na prawdę nie powinienem używać słów równanie wielomianowe oraz wielomian naprzemiennie

behroror: tak, to wygląda fatalnie

Mariusz: Adam ta nazwa (wielomian symetryczny) może być myląca Przedstawienie w postaci sumy kwadratów nie zawsze daje oczekiwany efekt Jeśli chodzi o równania czwartego stopnia to użytecznie może być jedynie wyodrębnienie przypadku równania dwukwadratowego Przykładowo chcemy rozwiązać równanie czwartego stopnia przez rozkład na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych używając współczynników nieoznaczonych a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀=0 a₄≠0 1. Usuwamy wyraz z x³ aby dostać łatwiejsze równanie rozwiązujące Jeśli lubimy schemat Hornera albo piszemy program i nie chcemy wpisywać współczynników na sztywno to stosujemy kilkukrotnie schemat Hornera

	a3
w punkcie −
	4a4

	a3
Możemy również podstawić x=y−
	4a4

2. Warto wyodrębnić przypadek równania dwukwadratowego czyli równania postaci (y²)²+b₂(y²)+b₀=0 aby uniknąć dzielenia przez zero 3. Stosujemy rozkład y⁴+b₂y²+b₁y+b₀=(y²−py+q)(y²+py+r) Po wymnożeniu trójmianów kwadratowych i porównaniu współczynników otrzymujemy układ równań q+r−p²=b₂ p(q−r)=b₁ qr=b₀ Po rozwiązaniu tego układu równań otrzymujemy p=√z

	1		b1
q=		(b2+p2+		)
	2		p

	1		b1
r=		(b2+p2−		)
	2		p

gdzie z jest pierwiastkiem równania trzeciego stopnia z³+2b₂z²+(b₂²−4b₀)z−b₁²=0 Teraz nasuwa się pytanie czy dla równania czwartego stopnia można podać metodę ogólną która nie korzystałaby z pierwiastków równania trzeciego stopnia ? Podobne pytanie można zadać dla równania trzeciego stopnia Czy dla równania trzeciego stopnia można podać metodę ogólną która nie korzystałaby z pierwiastków równania drugiego stopnia ?