wdadwa
behroror: Czy jest jeszcze jakiś sposób oprócz schematu hornena, aby wyznaczyć pierwiastki wielomianu
4ego stopnia , jeśli nie da się go rozłożyć na czynniki?
18 kwi 23:48
karty do gry : wielomian IV stopnia zawsze mozesz rozłozyć na czynniki.
18 kwi 23:49
Mariusz:
Jaki sposób cię interesuje
Rozkład na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych
Podstawienia pozwalające uzyskać wzory Vieta równania o stopień niższego
Metoda funkcji symetrycznych ?
19 kwi 01:54
Mariusz:
1.
Rozkład na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych możesz uzyskać dwa sposoby
− używając współczynników nieoznaczonych
a
4x
4+a
3x
3+a
2x
2+a
1x+a
0=0
| | a3 | |
Podstawieniem x=y− |
| usuwasz wyraz z x3 |
| | 4a4 | |
Zamiast tego podstawienia możesz użyć wspomnianego przez ciebie schematu Hornera
Podstawienie to pozwoli uprościć równanie rozwiązujące
Otrzymujesz równanie postaci
y
4+b
2y
2+b
1y+b
0=0
Rozpatrujesz dwa przypadki aby uniknąć dzielenia przez zero
b
1=0
W tym przypadku masz równanie postaci
(y
2)
2+b
2(y
2)+b
0=0
Otrzymujesz tzw równanie dwukwadratowe które podstawieniem
możesz sprowadzić do równania kwadratowego
b
1≠0
W tym przypadku masz pewność że przy obliczaniu współczynników trójmianu
nie wystąpi dzielenie przez zero
Zapisujesz więc wielomian czwartego stopnia w postaci iloczynu dwóch trójmianów kwadratowych
używając współczynników nieoznaczonych
y
4+b
2y
2+b
1y+b
0=(y
2−py+q)(y
2+py+r)
Po wymnożeniu trójmianów kwadratowych i porównaniu współczynników
dostaniesz układ równań którego rozwiązanie doprowadzi cię do
równania trzeciego stopnia na p
2
− zapisując wielomian najpierw w postaci różnicy kwadratów
a
4x
4+a
3x
3+a
2x
2+a
1x+a
0=0
Zakładając że a
4≠0 dzielisz równanie przez a
4
| | a3 | | a2 | | a1 | | a0 | |
x4+ |
| x3+ |
| x2+ |
| x+ |
| =0 |
| | a4 | | a4 | | a4 | | a4 | |
Grupujesz wyrazy wielomianu czwartego stopnia w dwa nawiasy
| | a3 | | a2 | | a1 | | a0 | |
(x4+ |
| x3)−(− |
| x2− |
| x− |
| )=0 |
| | a4 | | a4 | | a4 | | a4 | |
Wielomian w lewym nawiasie uzupełniasz do kwadratu korzystając ze wzoru skróconego mnożenia
na kwadrat sumy bądź różnicy
| | a3 | | a32 | |
(x4+2 |
| x3+ |
| x2)− |
| | 2a4 | | 4a42 | |
| | a32−4a4a2 | | a1 | | a0 | |
(( |
| )x2− |
| x− |
| )=0 |
| | 4a42 | | a4 | | a4 | |
| | a32−4a4a2 | | a1 | | a0 | |
(( |
| )x2− |
| x− |
| )=0 |
| | 4a42 | | a4 | | a4 | |
Wielomian w prawym nawiasie jest trójmianem kwadratowym więc sprowadzasz go do
kwadratu korzystając z wyróżnika trójmianu kwadratowego
Gdybyś przyrównał od razu wyróżnik trójmianu kwadratowego do zera to
mógłbyś dostać równanie sprzeczne
Musisz więc wprowadzić nową zmienną aby uzależnić od niej wartość wyróżnika
Nową zmienną wprowadzasz tak aby wielomian w lewym nawiasie nadal był kwadratem
znowu korzystając z wzoru skróconego mnożenia
| | a32−4a4a2 | | a3 | | a1 | |
((y+ |
| )x2+( |
| y− |
| )x |
| | 4a42 | | 2a4 | | a4 | |
Przyrównujesz wyróżnik trójmianu kwadratowego z prawego nawiasu
i dostajesz równanie rozwiązujące
| | y2 | | a0 | | a32−4a4a2 | |
4( |
| − |
| )(y+ |
| )− |
| | 4 | | a4 | | 4a42 | |
| | 4a0 | | a32−4a4a2 | |
(y2− |
| )(y+ |
| )− |
| | a4 | | 4a42 | |
Po rozwiązaniu równania trzeciego stopnia równanie czwartego stopnia
przyjmie postać różnicy kwadratów skąd po skorzystaniu
z wzoru skróconego mnożenia otrzymasz iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych
19 kwi 03:32
Mariusz:
2.
Masz równanie postaci
a
3x
3+a
2x
2+a
1x+a
0=0
| | a2 | |
Stosujesz podstawienie x=y− |
| aby usunąć wyraz z x2 |
| | 3a3 | |
{To podstawienie wynika z wzorów skróconego mnożenia}
Otrzymujesz równanie postaci
y
3+py+q=0
y=u+v { Masz sumę dwóch składników np dlatego że równanie rozwiązujące jest kwadratowe}
(u+v)
3+p(u+v)+q=0
u
3+3u
2+3uv
2+v
3+p(u+v)+q=0
u
3+v
3+q+3u
2+3uv
2+p(u+v)+q=0
u
3+v
3+q+(u+v)(3uv)+p(u+v)=0
u
3+v
3+q+(u+v)(3uv+p)=0
Wystarczy nam aby
u
3+v
3+q=0
(u+v)(3uv+p)=0
u+v nie możesz przyrównać do zera bo y=u+v
Masz zatem układ równań
u
3+v
3+q=0
3uv+p=0
u
3+v
3=−q
Powyższy układ równań przekształcasz do postaci wzorów Vieta dla równania kwadratowego
o pierwiastkach u
3 oraz v
3
u
3+v
3=−q
Powyższy układ równań to wzory Vieta równania kwadratowego
Pierwiastkami powyższego równania są u
3 oraz v
3
u
3+v
3=−q
u oraz v obliczasz w ten sposób aby spełniony był powyższy układ równań
Gdy już będziesz miał jedną parę (u,v) spełniającą powyższy układ równań
pozostałe pary znajdziesz korzystając z pierwiastków trzeciego stopnia z jedynki
e
2/3iπ, e
4/3iπ
Jeżeli rozwiązujesz równanie czwartego stopnia przez sprowadzenie do
iloczynu dwóch trójmianów kwadratowych to wystarczy ci
jeden pierwiastek równania trzeciego stopnia ale jeśli chciałbyś zastosować podobne rozumowanie
do równań czwartego stopnia to będziesz potrzebował trzech pierwiastków
równania trzeciego stopnia
Możesz zastosować podobne rozumowanie do równań czwartego stopnia
| | a3 | |
Podstawienie usuwające wyraz z x3 jest postaci y=x− |
| |
| | 4a4 | |
Podstawienie prowadzące do wzorów Vieta dla wielomianu trzeciego stopnia to
y=u+v+w
Miałeś jakieś podstawy liczb zespolonych ?
19 kwi 14:12