Szereg Staś : Mamy zadanie oblicz sumę: 1/1*2 + 1/2*3 + ... Znam rozwiązanie z 1/n − 1/n+1 Wpadł mi do głowy taki pomysł Suma 2 składników ciagu wynosi 2/3 3 −−> 3/4 Etc Więc wzor na sumę n składników to n/n+1 Więc czy nie da się policzyć lim tej sumy (q <1) I potraktować jej jako sumy?

hmm: tutaj nie ma stałego q!

Staś : Jednak cała suma (jaki wzor ogólny) dąży do 1 Czyli mam rozumieć że nie ma innego sposobu poza 1/n − 1/n+1

Adamm:

	1
∑n=1∞
	n*(n+1)

	1		1		1		1		1		1
Sn=		+		+...+		=(1−		)+(		−		)+...+
	1*2		2*3		n*(n+1)		2		2		3

	1		1
(		−		)=
	n		n+1

	1
=1−
	n+1

	1
limn→∞ 1−		= 1
	n+1

	1
∑n=1∞		=1
	n*(n+1)

Adamm: nie można traktować szeregu jak nieskończonej sumy

hmm: ale jakie byś wziął q?

Staś : Znam to rozwiązanie Zauważmy ze 1 =1− n+1 Jest równoważne temu wzorowo na sumę który ustawiłem Więc i.granica 1 limn→∞ 1− = 1 n+1 Jest taka sama

Staś : I teraz pytanie Czy to akurat szczególny przypadek czy

Adamm: wysłów się porządnie

	n
pytasz czy wzór		na ciąg sum częściowych to przypadek
	n+1

powiem ci już teraz to przypadek że zgadłeś jaki jest ciąg sum częściowych

Adamm: nie możesz powiedzieć że taki jest ciąg sum częściowych tylko po kilku pierwszych wyrazach

	1		2		3		5
co jeśli miałbyś		,		,		, i bum! nagle
	2		3		4		4

Staś : A czy podany przez Ciebie przykład da się policzyć z szeregu?

hmm: cos ty na te szregi sie uwziął

Adamm: co znaczy "policzyć z szeregu" nie znam takiego określenia

Staś : Podajesz przykład 1/2 2/3 3/4 5/4 Czy te liczby są tworzone wg jakiegoś wzoru? Czy możemy policzyć sumę nieskończonej liczby tych składników?

Adamm: nie ma czegoś takiego jak nieskończona suma

hmm:

	π
nie ma wzoru ogólnego, kolejny wyraz to może być np		co nie, więc NIE
	√2

Staś : "nie ma czegoś takiego jak nieskończona suma" A Jak należy prawidlowo.nazwax problem którego dotyczy zadanoe? ? Suma nieskończonego ciagu? " nie ma wzoru ogólnego, kolejny wyraz to może być np co nie, więc NIE emotka " No właśnie więc przykład jakby nie adekwatny do tematu

hmm: Chodziło mu o to, że zgadywanie może być pomocne (zgadywanie sumy szeregu), ale trzeba to uzasadnić potem jakoś. W tym przykladzie początkowym wysunąłeś hipoteze, ze q jest stałe, co niestety nie jest prawda, dlatego nie mozna policzyc ,, z gotowego wzoru"

Adamm: "No właśnie więc przykład jakby nie adekwatny do tematu" właśnie że bardzo adekwatny to że odgadłeś jak wyglądają kolejne wyrazy należy tylko do kwestii przypadku wcale nie musiały tak wyglądać "nie ma czegoś takiego jak nieskończona suma" problem to sprawdzenie czy szereg jest zbieżny, a jeśli tak, to podanie jego sumy

Staś : Oddałem bo wiedziałem jak się tworzą kolejne składniki Dlatego mogłem wyznaczyć wzor na sumę 2, 3 4 składników Oczywiście że gdyby się tworzyły przypadkowo nie byłbym w stanie tego zrobić

hmm:

	n
Tak, tylko ze samo zgadnięcie, ze ta suma to		trzeba jeszcze uzasadnic, np indukcją
	n+1

Staś : Uzasadnić wzor na sume? Ja to nie ogarnąłem tylko policzyłem sobie sumę 2, 3, 4 składników i zauważyłem prawidłowość

hmm: tak, ale to jest na razie wstęp do rozwiązania!

Adamm: ale nie możesz tak robić, i w tym jest problem

Adamm: tzn. możesz, nie możesz dochodzić do wniosku że jest to wzór ogólny na wyrazy tego ciągu jeśli sprawdziłeś dla n=2, 3, 4 to znaczy że działa dla n=2, 3, 4 ale niekoniecznie dla wszystkich n

hmm:

	n
Zuawżyles, ze jak sumujesz n elementów tego szeregu to dostajesz (		) co sprawdziles
	n+1

dla kilku początkowych n. Teraz sprawdzasz czy tak jest ogólnie. Dodajesz n+1 wyraz do sumy n−wyrazów

n		1		n(n+2)		1		n2+2n+1
	+		=		+		=
n+1		(n+1)(n+2)		(n+1)(n+2)		(n+1)(n+2)		(n+1)(n+2)

	(n+1)2		n+1		n+1
=		=		=
	(n+1)(n+2)		n+2		(n+1)+1

i teraz podsumujesz, ze rzeczywisie tak jest