dawdwa behroror: z⁴+2z²+4=0 a więc w = z² w² +2w + 4 =0 Δ=4−16=−12 √Δ = √−12= −2√3 i v 2√3 dostałem w1 i w2, co dalej>?

Adamm: z²=−1±√3i wzór de'Moivrie'a lub do co ci pokazałem wcześniej

behroror: rozumiem

jc: z⁴+2z²+4=0 (z²+2)² = 2z² z² + 2 = ± √2 z z = ± 1 ± i √3/2

behroror: czemu ± 1?

jc: Oj, mały błąd z = (± 1 ± i √3)/√2 Ale w tym zadaniu łatwo można dokończyć rozwiązanie Adamma (łatwe argumenty).

behroror: kontynuuje z₁ = −1 −√3i z₂ = −1 +√3i z² = −1 −√3i (x+yi )²= −1 −√3i x²+2xyi − y² = −1 −√3i {x²−y² = −1 {2xy = −√3 {x²+y² = 2

jc: Zacząłem jedno zdanie, dokończyłem inne Argumenty z² to 120^o i 60^o. Dlatego argumenty z to 60^o 60^o+180^o, 30^o, 30^o₁80^o.

behroror: a gdybym miał w = z³ to wtedy z³ = −1−√3i zgadza się?

jc: behroror, dobrze liczysz. Jednak, jeśli w równaniu z⁴ + bz² + c = 0 delta jest ujemna (b,c ∊ R), to lepiej liczyć inaczej. z⁴ + 3z² + 16 = 0 (z² + 4)² = 5x² ...

jc: Zgadza się.

behroror: kontynuuje 15:56 2x² = −1+2 2x² = 1

	1
x2=
	2

	1		1
x = √		v x = −√
	2		2

wstawiam do 2ego równania 2xy = −√3

	1
x = √
	2

	1
2*√		y = −√3
	2

y√2 = −√3

	−√6
y =
	2

	1
x = −√
	2

	1
2*−√		y = −√3
	2

−y√2 = −√3

	√6
y =
	2

behroror:

	1
{x = √
	2

	−√6
{y =
	2

	1
{x = −√
	2

	√6
{y =
	2

to są tylko 2 pary rozwiązan, a wielomian jest 4ego stopnia, więc gdzie są jeszcze te 2 pozostałe?

jc: Masz 4 rozwiązania. z = (± 1 ± i √3)/√2 O 15:56 zacząłeś od dwóch równań z² = −1 ±√3i, dalej rozpatrujesz tylko jedno.

behroror: z1 = −1 −√3i z2 = −1 +√3i rozpatrywałem z₁ więc jeszcze muszę rozpatrzyć z₂?

behroror: z² = −1 +√3i?

jc: Tak.

behroror: Chyba gdzieś popełniłem i tak błąd... Jeśli chodzi o z₁ i z₂ , to dobrze wyznaczyłem http://www.wolframalpha.com/input/?i=(sqrt(1%2F2)%2B(-sqrt(6))%2F2)%5E4%2B2*(sqrt(1%2F2)%2B(-sqrt(6))%2F2)%5E2+%2B4%3D0

Mila: z⁴+2z²+4=0 (z²+1)²=−3 (z²+1)²=3i² z²+1=i√3 lub z²+1=−i√3 z²=−1+i√3 lub z²=−1−√3 z=√−1+√3*i lub z=√−1−√3*i |−1+√3*i|=√4=2

	−1		√3
cosφ=		i sinφ=
	2		2

	2π
φ=
	3

	2π   +2kπ 3		2π   +2kπ 3
zk=2*(cos(		)+i sin(		)), gdzie: k∊{0,1}
	2		2

	π		π
z0=2*(cos		+i sin		)=1+√3i
	3		3

	4π		4π
z1=2*(cos		+i sin		)=−1−√3*i
	3		3

lub |−1−√3*i|=√4=2

	4π
φ=
	3

	4π		4π		2π		2π
z0=2*(cos		+i sin		)=2*(cos		+i sin		)=−1+√3*i
	6		6		3		3

	4π   +2π 3		4π   +2π 3
z1=2*(cos(		)+i sin(		)=
	2		2

	5π		5π
=2*(cos		+i sin		)=1−√3*i
	3		3

behroror: Hah marzenie. Niestety nie mogę tego robić z postaci trygonometrycznej, inaczej bym dawno skończył te zadanie.

karty do gry : z⁴ + 2z² + 4 = z⁴ + 4z² +4 − 2z² = (z² + 2)² − (√2z)² = (z² − √2z + 2)(z² + √2z + 2) Teraz pozostaje rozwiazanie dwóch równań kwadratowych. Co do rozwiazania Mili : z₀ = √2 * ... (brakuje pierwiastków)

Mila: Zgadza się. Ma być: √2*(...) zamiast 2*(...)

behroror: wróce do 15:56 x²−y² = −1 2xy = −√3 x²+y² = √4 dodaje 1 i 3cie równanie 2x² = −1 +2 2x² = 1

	1
x2 =
	2

	√2
x=
	2

	√2
2 *		y = −√3
	2

y= −√6 tutaj był błąd

behroror: zaraz, dalej źle √2y = −√3

	−√6
y =
	2

jednak było dobrze

behroror: okej... jeśli prowadzący pozwoli, to zrobię tak jak Mila, stosująć postać tryg. Jedno pytanie 1 i 2 linijka z⁴+2z²+4=0 (z²+1)²=−3 << jak to zrobiłaś

Mila: (z²+1)²−1+4=0 ( sprawdź wzór skróconego mnożenia) (z²+1)²=−3 Pomogę sposobem 15:56, za chwilę.

Mila: x²−y² = −1 , x,y∊R 2xy = −√3

	√3
y=−
	2x

	3
x2−		=−1 /*4x2
	4x2

4x⁴+4x²−3=0 , x²=t, t>0 4t²+4t−3=0 Δ=16+48=64

	−4−8		−4+8		1
t=		<0 lub t=		=
	8		8		2

	1		√2		√2
x2=		⇔x=		lub x=−
	2		2		2

	√3		√6		√6
y=−		=−		lub y=
	√2   2*   2		2		2

	√2		√6		√2		√6
z=		−		lub z=−		+
	2		2		2		2