Ciąg funkcyjny Artix: Proszę o pomoc z zadaniem: Zbadać punktową i jednostajną zbieżność ciągu funkcyjnego: f_n(x) = nx(1−x)ⁿ dla x ∊ <0,1> nie potrafię tego policzyć ładnie .. Pomoże ktoś ?

g: Funkcja jest punktowo zbieżna do zera, ale jednostajnie nie jest zbieżna. Punktowa zbieżność: dla x=0 f_n(0)=0 dla x>0 n(1−x)ⁿ→0 Jednostajna zbieżność: ln(f_n(x)) = ln(nx) + n ln(1−x) skupiam się na małych x i robię przybliżenie ln(1−x)≈−x f_n(x) ≈ nx e^−nx jednostajna zbieżność wymaga, aby dla n≥M i każdego x było f_n(x)<ε nx e^−nx < ε ta nierówność ma rozwiązanie typu nx > g(ε), gdzie g() jest funkcją odwrotną do xe^−x. więc n > g(ε)/x, czyli nieprawda że "dla n≥M i każdego x".

jc: Ciąg (1−1/n)ⁿ jest ciągiem rosnącym, więc dla n ≥ 2, (1−1/n)ⁿ ≥ 1/4. Dlatego f_n(1/n) ≥ 1/4, skąd wynika, że ciąg nie jest zbieżny jednostajnie do zera (dla każdego n znajdujemy x dla. którego jesteśmy daleko od zera). −−−−−−−−−−−−

	1		1
Najdalej jesteśmy dla x=1/(n+1). f(		) =		.
	n+1		(1+1/n)n+1

	1
Ciąg w mianowniku jest ciągiem malejącym, więc f(		) ≥ 1/4.
	n+1

g: OK, to jest ładniejszy dowód. I nie wymaga wątpliwych przybliżeń.

Artix: Ok dziekuję