,.,.
Pełcio: Witam!
Wskazówki mile widziane..
1. Liczby a,b,c,d są dodatnie
wykaż, że:
a+b+c+d≥2*
3√2*
4√3*a
1/12*
6√b*
4√c*
√d
2.Wykazać, że jeśli |x−1|+|y−1|<1 to |x
2+y
2−2|<3
| a−b | | b−c | | c−a | |
3. Wykaż, że jeśli |
| + |
| + |
| =0, to co najmniej dwie spośród a,b,c |
| 1+ab | | 1+bc | | 1+ac | |
są równe.
14 kwi 13:45
Adamm: 1. powtórka z rozrywki
średnia arytmetyczna≥średnia geometryczna
14 kwi 13:57
Adamm: 2. trzeba tutaj zastosować nierówność trójkąta
|x+y|≤|x|+|y|
14 kwi 14:33
Rafal: Albo na poziomie liceum:
Wystarczy pokazać, że wszystkie punkty o współrzędnych (x,y) spełniające pierwszą nierówność
spełniają też drugą. Pierwsza nierówność opisuje kwadrat, a druga... okrąg. Po narysowaniu
widać, że dany kwadrat zawiera się w całości w danym okręgu,
14 kwi 14:40
Adamm: 3. wymnóż wszystko i pogrupuj, zobaczysz o co chodzi
Rafal, nierówność trójkąta nie jest na poziomie liceum?
14 kwi 14:44
Rafal: Wydaję mi się, że pod tą nazwą nie występuje w programie... albo to ja miałem takiego pecha.
14 kwi 14:45
14 kwi 14:47
Rafal: OK mój błąd
14 kwi 14:50
Pełcio: No właśnie Adamm wiem że to ma być arytmetyczna i geometryczna, ale zawsze mam problem z
wymysleniem dla jakich liczb, 2 i 3 podziałam i powiem czy coś wyszło, dzięki.
14 kwi 15:09
Adamm: a1/12*b1/6*c1/4*d1/2=(a*b2*c3*d6)1/12
i już wiesz że będą to liczby a, 2 razy b, 3 razy c, 6 razy d
14 kwi 15:11
Adamm: inaczej, przepraszam
a, 2 razy b/2, 3 razy c/3, 6 razy d/6
14 kwi 15:12
Pełcio: no właśnie.. źle to robiłem..
ale już będę wiedział, dzięki
14 kwi 15:17
Pełcio:
Adamm jak wykorzystać nierówność trójkąta do tego 2 zadania?
17 kwi 13:36
Kacper:
17 kwi 14:17
Adamm: a=x−1, b=y−1
teza: |a|+|b|<1 ⇒ |a2+2a+b2+2b|<3
rozwiązanie narzuca się samo
|a2+2a+b2+2b|≤a2+b2+2(|a|+|b|)
|a|+|b|<1 ⇒ a2+b2<1−2|ab|<1
17 kwi 17:43
Pełcio: Dziękuję.
18 kwi 12:35
TheMaturaKiller: Pawel pomyślbys czasem
18 kwi 19:46
Pełcio: x3+3x2+3x+7= xy+2y
jak to pogrupować żeby rozwiązać?
19 kwi 17:41
karty do gry : "rozwiazać" ?
19 kwi 17:45
Adamm:
19 kwi 17:48
Pełcio: "wyznacz wszystkie pary x,y spełniające dane równanie"
19 kwi 17:49
Adamm:
no to już, wyznaczone
nawet wykres dostaniesz
19 kwi 17:50
Pełcio: a, jeszcze jest, że x,y∊ℤ
Adamm jak narysowałeś taki wykres?
19 kwi 17:53
Adamm: klikasz rysuję i wpisujesz wzór funkcji pole "y=..."
19 kwi 17:55
Pełcio: Kurczę, szkoda tylko że na konkursach tak nie można
A tak tego, to nie da się tego jakoś fajnie rozbić, do postaci iloczynowej doprowadzić? Bo
próbuję już dłuższy czas i nic fajnego nie mogę wymyślić.
19 kwi 17:58
Adamm: x+2=±1 lub x+2=±5
x=−1 lub x=−3 lub x=−7 lub x=3
no i proszę
19 kwi 17:58
Pełcio: hm, a dlaczego
x+2=±1 lub x+2=±5
19 kwi 18:00
Adamm: ponieważ x+2 musi dzielić 5
jeśli x+2 nie dzieliłby 5 to lewa strona byłaby wymierna ale nie całkowita, a przecież y
jest całkowity
19 kwi 18:02
Pełcio: aa, no tak, fajne, dzięki
19 kwi 18:03
Pełcio: x4+2ax+b=0 <−−−− udowodnij, że jeśli ma pierwiastek dwukrotny, to 27a4−16b3=0
Zapisuję w postaci:
(x−c)2(x−y)(x−z)=0
po wymnożeniu mam:
x4−(z+y+2c)x3+(yz+2zc+2yc+c2)x2−(2cyz+zc2+yc2)x+c2yz=0
z+y+2c=0 ⋀ yz+2zc+2yc+c2=0 ⋀ −2a= 2cyz+zc2+yc2 ∧ c2yz=b
co teraz?
19 kwi 18:43
Adamm: jeśli ma pierwiastek dwukrotny to wynosi on
x=
3√2a/4
jak się zna pochodne
19 kwi 18:49
Adamm: przepraszam, tam powinien być −
19 kwi 18:52
Pełcio: niestety, jeszcze nie znam
19 kwi 18:53
Pełcio: a to co napisałem jest ok czy nie? bo nie wiem czy to grzebać dalej czy dać spokój?
19 kwi 18:53
Adamm: nie musisz wiedzieć co to jest pochodna, ale trochę cię wprowadzę
mając jednomian xn to pochodna z tego jednomianu względem x wynosi nxn−1
pochodna ma kilka właściwości
(tutaj (f(x))' oznacza pochodną z f(x), taki zapis)
suma pochodnych to pochodna sumy (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)
pochodna iloczynu (f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)
jeśli x0 jest pierwiastkiem k−krotnym wielomianu to jest pierwiastkiem k−1−krotnym jego
pochodnej
pochodna z x4+2ax+b to 4x3+2a
jeśli jakiś x0 jest pierwiastkiem dwukrotnym tego wielomianu to mamy
x04+2ax0+b=0 to również 4x03+2a=0
znajdujesz x0, wstawiasz do pierwszego równania
19 kwi 18:57
Adamm: do wielomianów ci to wystarczy
19 kwi 18:59
Adamm: ah, jeszcze (a*f(x))' = a*f'(x) gdzie a jest pewną stałą (stałą można wynieść przed nawias)
19 kwi 19:00
Pełcio: ale jeśli x mam uzależnionego od literki a i wstawie do tego pierwszego to będę miał dalej 2
niewiadome, czy coś źle rozumiem?
19 kwi 19:00
Adamm: tak, ale dostaniesz zależność między a a b, a masz wykazać że 27a4−16b3=0
19 kwi 19:01
Pełcio: a no tak...
19 kwi 19:03
Pełcio: ax3+bx2+cx+d=0, jeśli ma pierwiastek potrójny to bc=9ad
to zadanie też się da tak zrobić?
19 kwi 19:04
Adamm: pewnie tak
19 kwi 19:06
Pełcio: ale jak do tego stworzyć pochodną?
3x2+b+c+d?
19 kwi 19:08
Pełcio: dobra nie, bo tu jeszcze a jest
19 kwi 19:09
Adamm: pierwsza pochodna (mówi się pochodna pierwszego rzędu) to będzie
(ax3+bx2+cx+d)'=3ax2+2bx+c
druga (drugiego rzędu) to będzie
(3ax2+2bx+c)'=6ax+2b
19 kwi 19:10
Adamm: podstaw, spróbuj wyznaczyć pewne zależności
19 kwi 19:11
Pełcio: akurat to idzie dużo szybciej tym sposobem co próbowałem tamto robić
zapisuję w postaci e(x−f)3=0
po pomnożeniu dostaję:
ex3−3fex2+3f2ex−f3e=0
teza to bc− 9ad=0
więc −9f3e2+9e2f3=0
19 kwi 19:14
Adamm: ponieważ pierwiastek był trzykrotny, a wielomian 3 stopnia
mimo wszystko zachowałbym sobie pochodne wielomianów do swojego "arsenału matematycznego"
19 kwi 19:16
Pełcio: ale tam ta pochodna by się przydała, bo nie wiem jak to skończyć szybko, żeby się nie naliczyć
19 kwi 19:17
Pełcio: wygrzebałem jeszcze jedno takie:
| a | | b | |
Udowodnij, że jeżeli równanie x4+ax+b=0 ma dwa równe pierwiastki to ( |
| )4= ( |
| )3 |
| 4 | | 3 | |
czyli pochodna to 4x
3+a
19 kwi 19:22
Adam: tak
20 kwi 23:40
Krzysiek: po co ci tu pochodna
20 kwi 23:43
jc: Jeśli x jest pierwiastkiem podwójnym, to jest pierwiastkiem wielomianu
i pierwiastkiem pochodnej.
x4+ax+b=0, 4x3 + a=0
a= −4x3, 3x3 = b
9 x6 = b2
9 (a/4)3 = b2
(a/4)3 = (b/3)2
21 kwi 00:24
Pełcio: Ok, dziękuję
21 kwi 15:23