ekstrema hegel57: Zbadaj, czy podana funkcja ma ekstrema: f(x,y)=x³+y³−3xy

Jerzy: Zacznij od pochodnych cząstkowych.

hegel57: f x(x,y)=3x²+y³−3y fy(x,y)=x³+3y²−3x i nie wiem jak dalej, wiem że taki układ równań musi być f'x(x,y)=0 f'y(x,y)=0

Jack: nwm jaki miales/as zapis, wiec zapisze w ten sposob:

	df
pochodna po iksie :		= f'(x)
	dx

	df
po igreku analogicznie		= f'(y)
	dy

zatem najpierw pochodne czastkowe :

df
	= 3x2 − 3y
dx

df
	= 3y2 − 3x
dy

{3x² − 3y = 0 /:3 {3y² − 3x = 0 /:3 {x² − y = 0 {y² − x = 0 odejmujac rownania od siebie : x² − y² − y + x = 0 (x−y)(x+y) + (x−y) = 0 (x−y)(x+y+1) = 0 x = y lub x = − y − 1 dla x=y x² − x = 0 x(x−1) = 0 x = 0 lub x = 1 stad mamy juz 2 punkty stacjonarne P₁(0,0), P₂(1,1) teraz dla x = − y − 1 (−y−1)² − y = 0 (y+1)² − y = 0 y² + y + 1 = 0 Δ<0 brak rozw. zatem mamy jedynie tamte 2 punkty. Teraz pochodne mieszane

hegel57: dziękuje bardzo

Jack: jak liczysz pochodna po iksie to "y" traktujesz jako stala czyli jak masz np. wyrazenie f(x,y) = x + y³ to pochodna po iksie bedzie rowna x bo y³ nam sie "zeruje" tak jak mamy np. f(x) = x³ + 7, to pochodna f'(x) = 3x² (siodemka jest stala − sie zeruje)

Jack: co do pochodnych mieszanych f_xx(x,y) = 6x f_xy(x,y) = − 3 f_yx(x,y) = − 3 f_yy(x,y) = 6y podstawiamy teraz punkt P₁(0,0) i budujemy tzw hesjan. czyli budujemy i liczymy wyznacznik |6*0 −3| | | = 0 − 0 − [(−3)*(−3)] = 0 − [9] = − 9 |−3 6*0| wyznacznik wyszedl ujemny, ekstremum nie istnieje Teraz drugi punkt wstawiamy − P₂(1,1) |6*1 −3| | | = 6*6 − [(−3)*(−3)] = 36 − 9 = 27 |−3 6*1| wyznacznik > 0 zatem istnieje ekstremum globalne. (jesli by wyznacznik wyszedl zero to ta metoda nie rozstrzyga − czyli nie wiemy czy jest czy nie) i teraz patrzymy na pierwsza liczbe tzn w lewym gornym rogu czyli pochodna f_xx(x,y) dla punktu P₂(1,1) jak widzim jest ona > 0 bo 6*1 jest wieksze od 0 Stad wniosek : Funkcja w punkcie (1,1) osiaga minimum lokalne, ktorego wartosc wynosi : f(1,1) = 1³ + 1³ − 3*1*1 = 2 − 3 = − 1