Zbiór wartości funkcji Qwadrat:

	6
Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x)=x+		, gdzie x∊R\{0}.
	x

Zadanie pochodzi z "Rachunku różniczkowego". Jak ja mam się za to zabrać?

Adamm:

	6
f'(x)=1−
	x2

1. x>0 f'(x)>0 ⇒ x>√6 f'(x)<0 ⇒ 0<x<√6 funkcja rośnie dla x>√6

	6
limx→0+ x+		= ∞
	x

tutaj minimum globalnym jest x=√6 co można uzasadnić tym że dla (0;√6) funkcja maleje, a dla x>√6 rośnie f(√6)=2√6 ZW₊=<2√6;∞) 2. x<0

	6
funkcja jest nieparzysta, f(−x)=−x−		=−f(x) więc musi być
	x

ZW₋=(−∞;−2√6> kończąc mamy ZW=(−∞;−2√6>∪<2√6;∞) drugi sposób dla x>0 z nierówności między średnimi mamy

6   x+   x
	≥√x*6/x=√6
2

f(x)≥2√6 przy czym nie możemy jeszcze powiedzieć że to jest zbiór wartości dla dodatniej części równość zachodzi dla x=6/x czyli x=√6 funkcja jest nieparzysta więc dla x<0 mamy f(x)≤−2√6 dochodzimy do wniosku że ZW=(−∞;−2√6>∪<2√6;∞)

Adamm: 2 drugim sposobie trzeba się również podtrzymać granicą lim_x→0⁺ x+6/x = ∞

zef:

	6+x2
f(x)=
	x

	2x2−6−x2		x2−6
f'(x)=		=
	x2		x2

lim_x→∞f(x)=+∞ lim_x→∞f(x)=−∞ f'(x)=0 ⇔ x²=6 , x=√6(minimum w tym punkcie) lub x=−√6 (maksimum w tym punkcie)

	12
f(√6)=		=2√6
	√6

f(−√6)=−2√6 ZW:(−∞;−2√6>u<2√6;∞)

Adamm: zef, jakbyś napisał tak na maturze to mogą ci zabrać punkty

Adamm: nie mówię że jest źle

Qwadrat: Ok, dziękuję. Co do tego drugiego sposobu− akurat dziś czytałem o nierówności Cauchy'ego między średnimi i tak się zastanawiałem− można z tego korzystać na maturze?

zef: O co dokładniej chodzi ? No jeszcze powinienem policzyć granice jednostronne w zerze, to wiem

Qwadrat: A co jest źle w zapisie zef'a?

Adamm: zef, właśnie o to że się nie rozpisałeś, a tam trzeba wszystko jak dziecku

Adamm: Qwadrat, można z tego co wiem to wszystkie znane twierdzenia są dozwolone, tylko trzeba na nie się powołać

Adamm: zef, chodziło mi bardziej o pochodną

Qwadrat: Czyli, że należałoby napisać wcześniej komentarz np. "Korzystając z nierówności Cauchy'ego między średnimi, wiemy że:"?

Adamm: tak ja piszę "na mocy twierdzenia o ..."

Adamm: tutaj akurat bym napisał "na mocy nierówności między średnimi"

Qwadrat: Ok, zatem zaufam Twojej wersji, jeszcze raz dziękuję W kwestii tej pochodnej u zef'a, to gdy sam próbowałem rozwiązać to zadanie, to od razu

	6
napisałem, że f'(x)=1−		...
	x2

Później liczyłem granice w +∞ oraz −∞ i dopiero gdy zacząłem liczyć granice jednostronne w 0 to zwątpiłem w słuszność mojej koncepcji...

Adamm: i może zacytowałbym między którymi dokładnie