Zbior qartoscj funkcji tryg StrasznyNieogar: Wyznacz największą I najmniejszą wartość funkcji f (x) = sin2x + cos2x

	π
sin2x= cos (		− 2x)
	2

	π		π		π
cos (		− 2x) + cos2x = 2cos		cos (		− 2x) ====>z sumy cosinusów
	2		4		4

	√2
pod pi/4 podstawiam
	2

	π
I mam √2 cos (		− 2x)
	4

Jak to teraz narysować? Chyba że istnieje inny sposób na wyznaczenie

Adamm: po co rysować? funkcja cosx ma zbiór wartości od −1 do 1 argumentem tutaj zamiast x jest π/4−2x, ale to nic nie zmienia, bo nadal π/4−2x może być dowolną liczbą rzeczywistą więc cos(π/4−2x) nadal ma zbiór wartości od −1 do 1 więc √2cos(π/4−2x) ma ten zbiór wartości od −√2 do √2

StrasznyNieogar: Kurcze wybacz Adamm, nie dopisałem treści ...

	π
W przedziale <0,		>
	2

I chyba teraz lepiej narysować?

Adamm: lepiej jest nadal nie rysować 0≤x≤π/2 0≤2x≤π 0≥−2x≥−π π/4≥π/4−2x≥−3π/4 teraz narysuj sobie, ale cosx na przedziale <−3π/4; π/4>

Adamm: to będzie między 1 a −√2/2

StrasznyNieogar: Wartość najmniejsza = 1 Wartość największa? Dla f(−3π/4)=

	π		π		π
cos (		−		)= −cos		= − √2/2
	2		4		4

Cos się nie zgadza powinno być √2 czyli pi/8

StrasznyNieogar: A nie, pomyliłem

StrasznyNieogar: Dobrze to robię?

	3π		π
−		= − π +
	4		4

	π		√2
−		=
	4		2

Alky: 17:04 Adamm Ci rozpisał jak to najfajniej zrobić. Jak doszedłeś do postaci

	π
f(x)=√2cos(		−2x)
	4

	π
−1≤cos(		−2x)≤1
	4

więc

	π
−√2≤√2cos(		−2x)≤√2
	4

StrasznyNieogar:

	π
Alky, ale to ma być przedział <0,		>
	2

Bez przydziału wiem o co chodzi

Alky: Ah, sorki. Nie zwróciłem uwagi No to w sumie wyznaczasz przedział tak jak w 17:27 i 17:29 i jeśli chodzi o wartość największą to odczytujesz sobie z wykresu, że jest to 1 , natomiast najmniejszej wartości nie widać, więc liczysz sobie (wiesz, że min jest dla

	3π
−		)
	4

	π		3π		5π
√2cos(		−2*		)=...√2cos(−		)=...
	4		4		4

wynik jest dolną granicą zbioru wartości, natomiast górną jest 1

StrasznyNieogar: I właśnie jak obliczyc dalej? Bo nie wychodzi mi √2

Mila: f(x)=sin(2x)+cos(2x)

	π
Wartość najmniejszą,największą w przedziale <0,		>
	2

II sposób Ekstrema za pomocą pochodnej . Chyba łatwiej będzie. 1) pochodna. f'(x)=2cos(2x)−2sin(2x) f'(x)=0 ⇔ 2cos(2x)=2sin(2x)

sin(2x)
	=1
cos(2x)

	π		π
tg(2x)=1⇔2x=		+kπ i x∊<0,		>
	4		2

	π		kπ
x=		+
	8		2

k=0

	π		π
x=		∊<0,		>
	8		2

	π		π		π
f(		)=sin		+cos		=√2
	8		4		4

k=1

	5π		π
x=		>
	8		2

	π
Szukamy wartości najmniejszej dla x=
	2

	π		π		π
f(		)=sin(2*		)+cos(2*		)=0+(−1)=−1
	2		2		2

	π
ymax=√2 dla x=
	8

	π
ymin=−1 dla x=
	2

odp.

	π
−1≤f(x)≤√2 dla x∊<0,		>
	2

Alky:

	π
Nieno, dobrze wychodzi. Zobacz. Tak jak na rysunku cos(		−2x) ma maksimum = 1 więc
	4

	π
cos(		−2x) ma maksimum √2*1=√2
	4

Natomiast jeśli chodzi o minumum to wychodzi z tego −1. Zobacz czy się nie pomyliłeś gdzieś.

Alky: Poprawka*

	π
Nieno, dobrze wychodzi. Zobacz. Tak jak na rysunku cos(		−2x) ma maksimum = 1 więc
	4

	π
√2cos(		−2x) ma maksimum √2*1=√2
	4

Natomiast jeśli chodzi o minumum to wychodzi z tego −1. Zobacz czy się nie pomyliłeś gdzieś.

StrasznyNieogar: O teraz rozumiem, elegancja Francja Jeszcze Mila wrzuciła swój pomysł, zaraz przeanalizuje (choć z pochodnymi funkcji nie miałem jeszcze stycznosci) Dzięki jesteście kochani !