Pomocy :) Michal: 6. Rozwiąż równania w zbiorze liczb zespolonych : a) 4z + |2z|² = 28 − 4i b) i x² + (2 − 4i) x − 4 + 2i = 0 c). x³ + 2x² + x + 2 = 0 d). x⁴ + 6i x² − 8 = 0 e). x⁴ − 16 = 0

Michal: Błagam o pomoc to dla mnie bardzo ważne

Basia: ad.a z=a+bi a,b∊R 2z=2a+2bi |2z|² = 4a²+4b² 4a+4bi+4a²+4b²=28−4i (4a²+4b²+4a) + 4bi = 28−4i 4a²+4b²+4a = 28 /:4 4b=−4 a²+b²+a=7 b=−1 a²+1+a−7=0 a²+a−6=0 Δ=1−4*1*(−6)=25 √Δ=5 a₁ = ⁻¹⁻⁵₂=−3 a₂ = ⁻¹⁺⁵₂=2 z = −3−i lub z=2−i ad.b coś mi tu nie gra czy tam nie powinno być (2+4i)x albo +4+2i ? ad.c x³+2x²+x+2=0 x²(x+2) + (x+2)=0 (x+2)(x²+1)=0 x+2=0 lub x²+1=0 x=2 lub x²=−1 x=2 lub x=i x = 2+0*i lub x=0+i ad.d x⁴+6ix²−8=0 Δ=(6i)²−4*1*(−8) = 36i²+32 = −36+32=−4 = 4i² √Δ = 2i x² = ⁻⁶ⁱ⁻²ⁱ₂ = −4i lub x² = ⁻⁶ⁱ⁺²ⁱ₂ = −2i x = a+bi x² = a² +2abi+b²i² = (a²−b²)+2abi x² = −4i ⇒ a²−b²=0 i 2ab = −4 a²=b² i ab=−2 a=−b i ab=−2 stąd (a=√2 i b=−√2) lub (a=−√2 i b=√2) czyli x₁ = √2−√2i x₂ = −√2+√2i x²=−2i ⇒ a²−b²=0 i 2ab=−2 a=−b i ab=−1 (a=1 i b=−1) lub (a=−1 i b=1) x₃ = 1−i x₄=−1+i ad.e x⁴−16=0 (x²−4)(x²+4)=0 (x−2)(x+2)(x²+4)=0 x₁=2 x₂=−2 x²=−4= 4i² x₃=2i x₄=−2i

: Podaję moją wersję rozwiązań 1} 4*z + |2*z|² = 28 − 4i 4*z² + 4*z − 28 + 4i = 0 |:4 z² + z − 7 + i = 0 Δ = 1² − 4*(−7 + i) = 1 + 28 − 4i = 29 − 4i √Δ = √29 − 4i Pierwiastek wyliczam z wcześniej wyprowadzonej formuły Gdzieś w poprzednich postach pokazywałem sposób wyliczenia

	c + a		c − a
√a + bi = ±[√		+ i*sign(b)*√		] gdzie c = √a2 + b2
	2		2

W takim razie c = √29² + (−4)² = √857 √29 − 4i = √(√857 + 29)/2 − i*√(√857 − 29)/2 = √Δ √29 − 4i = −√(√857 + 29)/2 + i*√(√857 − 29)/2 z1 = (−1 − √Δ)/2 z2 = (−1 + √Δ)/2 b) x² − (2 − 4i)^*x − 4 + 2i = 0 Δ = (2 − 4i)² − 4*(−4 + 2i) = 4 − 16i − 16 + 16 − 8i = 4 − 24i = 4*(1 − 6i) √Δ = 2√1 − 6i dalej pierwiastek wyliczyć z podanego wzoru i następnie x1 i x2 c) x³ + 2*x² + x + 2 = 0 x²*(x + 2) + (x + 2) = 0 (x + 2)*(x² + 1) = 0 x + 2 = 0 lub x² + 1 = 0 x1 = − 2 lub x² = −1 ⇒ x2 = √−1 = i lub x3 = −√−1 = −i d) x⁴ + 6i*x² − 8 = 0 Podstawienie: x² = t t² + 6it − 8 = 0 Δ = (6i)² − 4*1*(−8 ) = −36 + 32 = −4 √Δ = 2i t1 = (−6i + 2i)/2 = −2i t2 = (−6i − 2i)/2 = −4i x1,2 = ± √−2i = ± √2*√−i x3,4 = ± √−4i = ± 2√−i √−i = √1/2 − i*√1/2

Michal: Dziękuję Ci za te wszystkie rozwiązania bardzo mi pomogłaś . W związku z tym mam pewną prośbę, czy mogła byś pomóc mi rozwiązywać zadania tak o 18 ? Bardzo Cię proszę

Zbynek: przykład b) ix² + (2−4i)x − 4+2i = 0 to nic innego jak: Δ = (2−4i)² − 4(i)(−4+2i) = 4 − 16i + 16i² − 4i(2i − 4) = −12 − 16i −8i² + 16i = −12 + 8 = −4 stąd √Δ = √−4 = √4i² = 2i x₁ = 1 + i x₂ = 3 + i pozdro

werka: z⁴=1 wzbiorze zespolonym

Jerzy: ⇔ z⁴ − 1 = 0 ⇔ (z² − 1)(z² +1) = 0 ⇔ (z + 1)(z −1)(z + i)(z − i) = 0