równania Lukas: Stosując transformatę laplacea rozwiązać równania różniczkowe a) y''+3y'+y=0 b) y"+3y+y=t Pomocy!

Mariusz: ∫₀^∞f''(t)e^−st=f'(t)e^−st|₀^∞+s∫f'(t)e^−stdt ∫₀^∞f''(t)e^−st=0−f'(0⁺)+s∫f'(t)e^−stdt ∫f'(t)e^−stdt=f(t)e^−st|₀^∞+s∫f(t)e^−stdt ∫f'(t)e^−stdt=0−f(0⁺)+sF(s) ∫f'(t)e^−stdt=−f(0⁺)+sF(s) ∫₀^∞f''(t)e^−st=−f'(0⁺)+s(−f(0⁺)+sF(s)) ∫₀^∞f''(t)e^−st=−f'(0⁺)−sf(0⁺)+s²F(s)

	1		1
∫0∞te−stdt=−		te−st|0∞+		∫0∞e−stdt
	s		s

	1		1
∫0∞te−stdt=−		te−st|0∞−		e−st|0∞
	s		s2

	1
=−0+0−		(0−1)
	s2

	1
=
	s2

Mariusz: Za y(0⁺) oraz y'(0⁺) przyjmij dowolne stałe