wielomian Metis: Adammm Trzymaj od 5−latka skany w związku z wielomianem 4 stopnia 1) http://prntscr.com/euta13 2) http://prntscr.com/eutadq 3) http://prntscr.com/eutake

Adamm: dziękuję to bardzo miło z twojej i 5−latka strony jak ja się wam odwdzięczę ?

Mariusz: A gdzie skany z równaniami trzeciego stopnia Nie rozwiąże równania czwartego stopnia bez rozwiązania równania trzeciego stopnia Pewne szczególne przypadki równania czwartego stopnia można rozwiązać bez rozwiązania równania trzeciego stopnia ale ogólnego równania czwartego stopnia już bez równania trzeciego stopnia nie rozwiążesz

Adamm: potrafię rozwiązywać równania 3 stopnia, nawet zrobiłem już z 5, 6 przykładów odnośnie równań 3 stopnia zapamiętałem kilka wzorów dzięki czemu efektywnie mogę je rozwiązywać, jedynie za pomocą zwykłego kalkulatora teraz wolę skupić się na rozwiązywaniu równań 4 stopnia, znam mniej więcej ideę, przy czym najlepiej jest to przećwiczyć, ale przełożę to na później, najlepiej za miesiąc lub dwa

Mariusz: Chodzi mi o to że równania kwadratowe są w szkole a równania trzeciego stopnia już nie mimo iż wszystko co potrzebne do ich wprowadzenia są więc gdyby przyszedł ktoś trzeci to i tak nie wiedziałby jak je rozwiązać tak więc równania czwartego stopnia powinny być wprowadzane razem z równaniami trzeciego stopnia

Mariusz: Jak rozwiązywałeś równania trzeciego stopnia ? Równanie kwadratowe otrzymywałeś z wzorów Vieta czy z podstawień ?

Adamm: sprowadzałem do postaci kanonicznej, liczyłem deltę i w zależności jakiego znaku wyszła podstawiałem do wzorów na pierwiastki łatwiej jest mi zapamiętać wzory zamiast sposobu wiem jak wyznaczyć jeden pierwiastek podstawiając y=u+v do równania y³+py+q=0, ale o wiele łatwiej jest wyznaczyć pierwiastki wzorami, szczególnie że mogą być okropne

Adamm: "ale o wiele łatwiej jest wyznaczyć pierwiastki wzorami, szczególnie że mogą być okropne" mam na myśli dzielenie tego wielomianu przez wyznaczony pierwiastek

Metis: Adam zajrzysz do moich całek?

Mariusz: Bawiłeś się funkcjami symetrycznymi ? Mamy taki układ równań x₁+x₂−x₃−x₄=u₁ x₁−x₂+x₃−x₄=u₂ x₁−x₂−x₃+x₄=u₃ x₁+x₂+x₃+x₄=−a₃ Okazuje się że współczynniki wielomianu (z−u₁)(z−u₂)(z−u₃)(z+u₁)(z+u₂)(z+u₃) są funkcjami symetrycznymi pierwiastków równania czwartego stopnia i mogą być wyrażone za pomocą współczynników równania czwartego stopnia Dla równania trzeciego stopnia masz podobnie Niech ε₁+ε₂+1=0 ε₁ε₂=1 Układ równań wygląda tak x₁+ε₁x₂+ε₂x₃=u₁ x₁+ε₂x₂+ε₁x₃=u₂ x₁ + x₂ + x₃ =−a₂ Okazuje się że współczynniki wielomianu (z−u₁)(z−ε₁u₁)(z−ε₂u₁)(z−u₂)(z−ε₁u₂)(z−ε₁u₂) są funkcjami symetrycznymi pierwiastków równania trzeciego stopnia i mogą być wyrażone za pomocą współczynników równania trzeciego stopnia

Mariusz: Jak masz jedną parę (u,v) spełniającą ten układ równań powstały po podstawieniu x=u+v to pozostałych par możesz szukać wykorzystując zespolone pierwiastki trzeciego stopnia z jedynki

Mariusz: Programowałeś trochę ? Można napisać program który będzie ci losował współczynniki tak aby ładnie się liczyło

Adamm: programowałem jedynie w c++, wiem jak napisać prosty program

jc: Mariusz, równanie poniżej powinno się ładnie rozwiązywać. x⁴ + 3x² + 6x + 10 = 0,

Mariusz: Powinno starczyć , funkcje z time.h oraz stdlib.h będą przydatne Wylosuj sobie współczynniki trójmianów kwadratowych a następnie wymnóż te trójmiany kwadratowe i będziesz miał współczynniki wielomianu czwartego stopnia Możesz wylosować sobie pierwiastki całkowite bądź wymierne i skorzystać z wzorów Vieta aby otrzymać współczynniki wielomianu czwartego stopnia Funkcje symetryczne podstawowe występujące we wzorach Vieta możesz wygenerować iloczynem ∏_k=1ⁿ(1+x_kt) Jest też wzór rekurencyjny p(k,n)=1 k=0 p(k,n)=0 n=0 // Tutaj już k≠0 , gdy k=0 wykonywany jest poprzedni warunek p(k,n)=p(k,n−1)+p(k−1,n−1)x_n

Mariusz: Jeśli chodzi o programik do losowania współczynników to kiedyś wyklikałem takie coś http://wklej.org/id/3084029/

Mariusz: http://bcpw.bg.pw.edu.pl/Content/1342/zip/ Przed rozpakowaniem proponuję stworzyć katalog http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1110.pdf Powyższy pdf dałem do przeczytania Vaxowi Z jakiej książki są te skany 5−latka

Adamm: naprawdę bardzo dziękuję niestety nie wiem z jakiej są książki

5-latek: Biblioteczka matematyczna 16 Andrzej Mostowski Rozwiazywanie rownan algebraicznych (1964r)

Mariusz: Adam bawiłeś się funkcjami symetrycznymi ? Jeżeli po dowolnej permutacji zmiennych otrzymujesz wyjściowy wielomian to wielomian ten jest symetryczny Wielomiany symetryczne podstawowe (tzw elementarne) to te które występują we wzorach Vieta Każdy wielomian symetryczny można wyrazić za pomocą wielomianów symetrycznych podstawowych Dobrego algorytmu nie znam tylko zgadywanie które wielomiany pomnożyć a które odjąć

Adamm: "Jeżeli po dowolnej permutacji zmiennych otrzymujesz wyjściowy wielomian to wielomian ten jest symetryczny" co masz na myśli?

Adamm: ach, już rozumiem mówimy o wielomianach wielu zmiennych

Adamm: nigdy o tym nie słyszałem

Mariusz: Jedna z metod przedstawionych w książce Sierpińskiego wykorzystuje wielomiany symetryczne Trochę o nich napisał w poprzednim rozdziale http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1109.pdf

Mariusz: "ale o wiele łatwiej jest wyznaczyć pierwiastki wzorami, szczególnie że mogą być okropne" mam na myśli dzielenie tego wielomianu przez wyznaczony pierwiastek" Dla równań trzeciego stopnia można jeszcze z wzorów Vieta skorzystać zamiast dzielenia (wzór na sumę oraz na iloczyn pierwiastków)

Mariusz: Adam mam dla ciebie zadanie Wykaż że nie istnieje metoda ogólna rozwiązywania równań czwartego stopnia która nie korzysta z pierwiastków równania trzeciego słowa

Mariusz: Adam widziałeś pdf Eulera https://www.math.uni-bielefeld.de/~sieben/Euler_Algebra.ocr.pdf

KKrzysiek: gdzieś mam tego pdfa po angielsku, później ew. podesle linka

Mariusz: Jak masz to podeślij bo nie każdy miał niemiecki np ja angielski trochę miałem ale niemieckiego w ogóle Tutaj oprócz sposobów na rozwiązanie równania drugiego , trzeciego i czwartego stopnia jest też wymierna parametryzacja krzywej y²=ax²+bx+c dla a=0 mamy parabolę ale ten przypadek nie jest rozpatrywany dla a<0 mamy elipsę dla a>0 mamy hiperbolę Nie widziałem geometrycznej interpretacji którą w skrócie podaje Fichtenholz

jc: Mariusz, spójrz do historii matematyki (tłumaczenie z rosyjskiego, tom 1). Przeczytaj o Diofantesie.

Mariusz: Te podstawienia przypisuje się Eulerowi choć nie podał on skąd je wziął przynajmniej ja nie widziałem Tam jest coś więcej niż u Fichtenholza ? Od 289 strony są interesujące nas tematy jeśli chodzi o rozwiązywanie równań wielomianowych Od 238 strony jest sposób na rozwiązanie równania kwadratowego do którego sprowadzamy rozwiązywanie równania trzeciego i czwartego stopnia