rekurencja nikt: Podaj definicję rekurencyjną https://pl-static.z-dn.net/files/d0a/fc50efbbf3edbaa22a17c398f19803ea.png ciągów, np. 2 pierwsze przykłady.

Mariusz: j) a₀=0 a₁=1 a₂=−1 a_n=−a_n−1+a_n−2+a_n−3 ∑_n=3^∞a_nxⁿ=−∑_n=3^∞a_n−1xⁿ+∑_n=3^∞a_n−2xⁿ+∑_n=3^∞a_n−3xⁿ ∑_n=3^∞a_nxⁿ=−x∑_n=3^∞a_n−1xⁿ⁻¹+x²∑_n=3^∞a_n−2xⁿ⁻² +x³∑_n=3^∞a_n−3xⁿ⁻³ ∑_n=3^∞a_nxⁿ=−x∑_n=2^∞a_nxⁿ+x²∑_n=1^∞a_nxⁿ +x³∑_n=0^∞a_nxⁿ ∑_n=0^∞a_nxⁿ−0−x+x²=−x(∑_n=0^∞a_nxⁿ−0−x)+x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ−0) A(x)−x+x²=−x(A(x)−x)+x²(A(x)−0)+x³A(x) A(x)−x+x²=−xA(x)+x+x²A(x)+x³A(x) A(x)(1+x−x²−x³)=2x−x²

	2x−x2
A(x)=
	1+x−x2−x3

	2x−x2
A(x)=
	(1+x)(1−x2)

	2x−x2
A(x)=
	(1+x)2(1−x)

	A		B		C
A(x)=		+		+
	1+x		(1+x)2		1−x

Mariusz: Źle wymnożyłem Funkcja tworząca to

	x
A(x)=
	(1+x)2(1−x)

	1	(1+x)2−(1−x)2
A(x)=
	4	(1+x)2(1−x)

	1		1		−1+x
A(x)=		(		+		)
	4		1−x		(1+x)2

	1		1		1+x−2
A(x)=		(		+		)
	4		1−x		(1+x)2

	1		1		1		2
A(x)=		(		+		−		)
	4		1−x		1+x		(1+x)2

	1
∑n=0∞(−1)nxn=
	1+x

d		d	1
	∑n=0∞(−1)nxn=
dx		dx	1+x

	1
∑n=0∞n(−1)nxn−1=−
	(1+x)2

	1
∑n=1∞n(−1)nxn−1=−
	(1+x)2

	1
∑n=0∞(n+1)(−1)n+1xn=−
	(1+x)2

	1
−∑n=0∞(n+1)(−1)nxn=−
	(1+x)2

	1
∑n=0∞(n+1)(−1)nxn=
	(1+x)2

	1
an=		(1+(−1)n−2(n+1)(−1)n)
	4

	1
an=		(1−(2n+1)(−1)n)
	4

Mariusz: e) a₀=3 a₁=5 a_n=a_n−2+1 Najwygodniejsza będzie zwykła geometryczna funkcja tworząca

nikt: 0₀ co to jest ale, nie chodziło o jedną linijkę, np. a_n = (a_n +1)²

nikt: ale to takie rozdudowane?naparwde?

Adamm: nikt, masz zgadnąć postać rekurencyjną Mariusz wyliczył ci dodatkowo postać ogólną, to zwiększa trudność zadania

Mariusz: g) a₀=−3 a₁=1 a_n=a_n−1a_n−2−1

nikt: panie, adamm ja mam teraz porgram napisać na tej zasadzie, ja potrzebuje schemat, jak powstaje kolejny wyraz ciągu 'zwykła geometryczna funkcja tworząca' co to znaczy?

Adamm: funkcja tworząca to coś do znajdywania postaci ogólnej ciągu ciebie interesuje tylko i wyłącznie postać rekurencyjna

nikt: ale trudno się domyślić np. g) a0=−3 a1=1 an=an−1an−2−1

Mariusz: Nazwałem to geometryczną funkcją tworzącą bo dla ciągu jedynek daje sumę szeregu geometrycznego Adam ma rację że funkcje tworzące mogłyby ci posłużyć do znalezienia wzoru ogólnego

nikt: jak sie je rozumie

Mariusz: Definiujesz sobie funkcję w postaci sumy szeregu potęgowego gdzie współczynniki tego szeregu są kolejnymi wyrazami ciągu Masz ciąg a_n Funkcja tworząca tego ciągu to A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ Mamy ciągi e) a₀=3 a₁=5 a_n=a_n−2+1 g) a₀=−3 a₁=1 a_n=a_n−1a_n−2−1 j) a₀=0 a₁=1 a₂=−1 a_n=−a_n−1+a_n−2+a_n−3 Masz pomysł na pozostałe ?

Mariusz: f)

	3
a0=
	2

a₁=1

	1
a2=
	2

a_n=2a_n−1−a_n−3 Jeżeli chcesz wzór jawny to skorzystaj z funkcji tworzącej

Mariusz: h) a₀=−2

	5
a1=
	2

a₂=3 a_n=−a_n−1+a_n−3 Jeżeli chcesz wzór jawny możesz użyć funkcji tworzącej

Mariusz: i) a₀=−1 a₁=0

	1
a2=
	2

a_n=a_n−1−a_n−3 Jeżeli chcesz wzór jawny możesz użyć funkcji tworzącej Ciekaw jestem czy dla ciągu g) można znaleźć jakąś liniową rekurencję