Udowodnij że Staś : 1. Udowodnij że liczba w zapisie cyfrowym c_n c_n−1 ... c₀ ma te sama resztę z dzielenia przez 11 co naprzemienna suma cyfr c₀ − c₁ + c₂ − c₃ ... Znałem to twierdzenie w formie " na pamiec" lecz nigdy nie widziałem jego wskazywania 2. Udowodnij ze.dla dowolnej liczby naturalnej n nieparzyste i biepodzielnej przez 5 istnieje liczba naturalna podziemna przez n w której zapisie występują tylko 9.

Adamm: 1. łatwo uzasadnić to jeśli zna się kongruencje c_nc_n−1...c₀=10ⁿ*c_n+10ⁿ⁻¹*c_n−1+...+c₀≡ ≡(−1)ⁿ*c_n+(−1)ⁿ⁻¹*c_n−1+...+c₀ mod 11

Staś : Niestety nie znam Dysponuje matematyka na poziomie 3 LO

Adamm: to zadanie nie jest na poziomie 3 LO, zapoznaj się to nie jest trudne, a od wiedzy cię głowa nie rozboli http://www.ftj.agh.edu.pl/~lenda/number_theory/A31.pdf

Staś : Ono jest że zbioru Zadania powtórkowe przed matura OE. Nawet gwiazdki nie ma Już się zapoznaje

Adam: no dobra może to i jest na poziomie LO rozpisz sobie (11−1)ⁿ dwumianem Newtona (jest w tablicach)

Staś : Dlaczego 11 −1 ? Jeśli już to 10−1 chyba? Ale nie wiem co mam tym osiągnąć zwłaszcza w przypadku przemiennego podejmowania i odejmowania cyfr z ostatnich miejsc

g: A może tak: zauważ że dla c∊[1;9] i n parzystego c*10ⁿ mod 11 = c, a dla n nieparzystego c*10ⁿ mod 11 = 11−c. Można to udowodnić indukcyjnie, dla n=0 i n=1 trzeba sprawdzić na piechotę.