calki 5 calek - pomocy: Czesc ! Chcialbym was prosic czy nie pomozecie mi zrobic 5 nastepujacych całek 1) ∫³√^x+1_x−1 * ^dx_x+1 (cos kiepsko wyglada ale to jest pierwiatek 3 stopnia x+1 dzielone na x−1 2) ∫^dx_1−sinx 3) ∫x⁵e^x2 4) ∫^dx_x³+x 5) ∫^dx_x²+6x+12 (i tutaj jest przedzial calki od ∞ do −2) z gory dziekuje za odpowiedzi x]

Eta: http://www.zadania.info/d81/1 może to Ci coś rozjaśni Dobranoc

: Zad. 1

	x+1		x + 1		t3 + 1
Podstawienie: 3√		= t →		= t3 → x =
	x−1		x − 1		t3 − 1

	3*t2*(t3 − 1) − 3*t2*(t2 + 1)		−6*t2
dx =		=
	(t2 − 1)2		(t2 − 1)2

	t3 + 1		2*t3
x + 1 =		+ 1 =
	t3 − 1		t3 − 1

	t3 − 1		−6*t2		−3
J = t*		*		=−
	2*t3		(t2 − 1)2		t2 − 1

Rozkład ułamka na ułamki proste

−3		A		B
	=		+
t2 − 1		t − 1		t + 1

−3 = A*t + A + B*t B −3 = (A + B)*t + A − B St ąd układ równań: A + B = 0 i A − B = −3 → A = −3/2 , B = 3/2

−3		−3		1		1
	=		*(		−		)
t2 − 1		2		t − 1		t + 1

Nasza całka

	−3		1		1
J =		∫(		−		)dt
	2		t − 1		t + 1

	−3		−3		t − 1
J =		*(ln(t − 1) − ln(t + 1)) =		*ln		+ C
	2		2		t + 1

: dokończenie

	3		t + 1
J =		*ln		+ C
	2		t − 1

Teraz za t podstawić zmienną x

: Zad.2 J = ∫x⁵*e^x2dx

	dt
Podstawienie: x2 = t → x = √t → dx =
	2√t

x⁵ = x²*x²*x = t*t*√t = t²*√t

	dt		1		1
J = ∫t2*√t*et*		=		∫t2*etdt =		J1
	2√t		2		2

Całkowanie przez części u = t² dv = e^tdt du = 2tdt v = e^t J1 = u*v − ∫vdu = t²*e^t − 2∫t*e^tdt = t²*e^t − 2*J2 gdzie J2 = ∫t*e^tdt u = t dv = e^tdt du = dt v = e^t J2 = t*e^t − ∫e^tdt = t*e^t − e^t W takim razie J1 = t²*e^t − 2*(t*e^t − e^t) = t²*e^t − 2*t*e^t + 2e^t = e^t*(t² − 2*t + 2) J1 = e^x2*(x⁴ − 2*x² + 2) Ostatecznie

	1
J =		ex2*(x4 − 2*x2 + 2) + C
	2

: Pisząc ułamki proszę używać U (duże U) − tematy zadań są mało czytelne

	1
J = ∫		dx
	1 − sinx

	2*t		2*dt
Podstawienie: tg(x/2) = t sinx =		dx =
	1 + t2		1 + t2

	2t		(1 − t)2
1 − sinx = 1 −		=
	1 + t2		1 + t2

	1 + t2		2*dt		dt
J = ∫		*		= 2∫		= 2∫(1 − t)−2dt
	(1 − t)2		1 + t2		(1 − t)2

	(1 − t)−1		2
J = 2		*(−1) =
	−1		1 − t

Ostatecznie

	2
J =		+ C
	1 − tg(x/2)