Ciagi i wlasnosci 5-latek: Udowodnij ze dla kazdego n∊N liczba a_n= (2+√3)ⁿ+(2−√3)ⁿ jest liczba naturalna Z dwumianu Newtona wiem ze tak bedzie bo ta liczba bedzie 4 ale jak to zapisac bo to zadanie maturalne

Adamm: a to jest stare zadanie? podobno wcześniej była indukcja

5-latek: tak stare zadanie Byla indukcja .

Adamm: 1. dla n=0 mamy a₀=2 2. (2+√3)ⁿ+(2−√3)ⁿ∊ℕ 3. (2+√3)ⁿ⁺¹+(2−√3)ⁿ⁺¹=2a_n+√3(2+√3)ⁿ−√3(2−√3)ⁿ= =2a_n+√3*((2+√3)−(2−√3))((2+√3)ⁿ⁻¹+(2+√3)ⁿ⁻²(2−√3)+...+(2−√3)ⁿ⁻¹)= =2a_n+6*((2+√3)ⁿ⁻¹+(2+√3)ⁿ⁻²(2−√3)+...+(2−√3)ⁿ⁻¹) dla parzystych n=2k mamy (2+√3)ⁿ⁻¹+(2+√3)ⁿ⁻²(2−√3)+...+(2−√3)ⁿ⁻¹=a_2k−1+a_2k−3+...+a₁∊ℕ dla nieparzystych n=2k+1 mamy (2+√3)ⁿ⁻¹+(2+√3)ⁿ⁻²(2−√3)+...+(2−√3)ⁿ⁻¹=a_2k+a_2k−2+...+a₂+1∊ℕ zatem (2+√3)ⁿ⁺¹+(2−√3)ⁿ⁺¹∊ℕ c. n. w.

5-latek: Dobrze . dzieki za rozpisanie

jc: a₀ = 2, a₁ = 4 a_n+2 = 4a_n+1 − a_n Dlatego każda liczba w ciągu jest całkowita. 2, 4, 14, 52, 194, ...

Adamm: wiedziałem że robię coś źle

L: Dlaczego an+2 = 4an+1 − an? Ktoś powie? Proszee

jc: (2+√3)² = 4(2 + √3) −1 (2−√3)² = 4(2 − √3) −1 Wystarczy teraz pierwsze równanie pomnożyć przez (2+√3)ⁿ, drugie przez (2−√3)ⁿ i dodać stronami.