równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych stud: Witam. Wie ktoś jak się do tego zabrać?

	dy		1		y2
y		=		−
	dx		2		x

Próbowałem sprowadzić do wspólnego mianownika ale nie wychodzi. Prosze o jakiekolwiek wskazówki

jc: Równoważny zapis: (x² y²)' = x² Teraz łatwo. (x² y²)' = (x³ /3)' x² y² = C + x³ /3 y² = x/3 + C/x²

Mariusz: O zmiennych rozdzielonych ? Mnie to bardziej na Bernouliego wygląda Podstawienie u=y²

stud:

	dy
a taka całka ∫		?
	y√1−y2

Mariusz:

	dy		1		y2
y		=		−
	dx		2		x

	dy		y2		1
y		+		=
	dx		x		2

	dy		2
2y		+		y2=1
	dx		x

u=y²

	dy
u'=2y
	dx

	2
u'+		u=1
	x

	2
u'+		u=0
	x

	2
u'=−		u
	x

u'		2
	=−
u		x

du		2
	=−		dx
u		x

ln|u|=−2ln|x|+C u=Cx⁻² u(x)=C(x)x⁻² C'(x)x⁻²−2C(x)x⁻³+2C(x)x⁻³=1 C'(x)x⁻²=1 C'(x)=x²

	x3
C(x)=		+C1
	3

	x		C1
u(x)=		+
	3		x2

	x		C1
y2=		+
	3		x2

Mariusz: Możesz drugie bądź trzecie podstawienie Eulera zastosować albo podstawić za pierwiastek t=√1−y² √1−y²=yt+1 √1−y²=(1−y)t

jc: Należałoby osobno rozpatrzyć przypadek u= 0. ln|u|=−2ln|x|+C u=Cx−2 to jest inne C i to takie, które zerem być nie może. u(x)=C(x)x−2 a tu mamy jeszcze inne C (to już nie jest stała) Ostateczny jest prawidłowy. Ze względu na dużą liczbę szczegółów do uwzględnienia, nie za bardzo lubię takie rachunki.

Mariusz: Aby na twój pomysł wpaść trzeba by było użyć czynnika całkującego użyć Jednak gdybyśmy mieli rozpoznawać typ to prędzej jest to równanie Bernoulliego niż o rozdzielonych zmiennych Podobno Bernoulli używał podstawienia y=uv i dwukrotnie rozdzielał zmienne Pomysł nadaje się też do równania liniowego pierwszego rzędu które jest szczególnym przypadkiem równania Bernoulliego